Equazione dell'ellisse con due punti e intersezione con una retta

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Equazione dell'ellisse con due punti e intersezione con una retta #33019

avt
Luke
Cerchio
Ciao ragazzi, mi aiutate con un'esercizio sull'equazione dell'ellisse, da calcolare conoscendo l'intersezione con una retta e con due punti?

Un'ellisse riferita al centro e agli assi, passa per i punti (3,1) e (-1,2) trova le intersezioni dell'ellisse con la retta di equazione x+y=1.

Risultati:

3x^2+8y^2=35 ; (-1,2) ; (27/11,-16/11)

Grazie emt
 
 

Re: Equazione dell'ellisse con due punti e intersezione con una retta #33027

avt
Ifrit
Amministratore
Ciao Luke emt

L'equazione dell'ellisse in forma canonica (click per tutte le formule) è:

\Gamma:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1

Imponiamo il passaggio per i due punti:

(3,1)\in\Gamma\iff \frac{9}{a^2}+\frac{1}{b^2}=1

(-1,2)\in\Gamma\iff \frac{1}{a^2}+\frac{4}{b^2}=1

Impostiamo il sistema:

\begin{cases}\frac{9}{a^2}+\frac{1}{b^2}=1\\ \frac{1}{a^2}+\frac{4}{b^2}=1\end{cases}

Linearizziamo il sistema ponendo:

u=\frac{1}{a^2}, v= \frac{1}{b^2}

Il sistema precedente diventa:

\begin{cases}9u+v=1\\ u+4 v=1\end{cases}

Risolvi il sistema con il metodo che preferisci emt otterrai come soluzioni:

u=\frac{1}{a^2}=\frac{3}{35}, v=\frac{1}{b^2}= \frac{8}{35}

L'equazione dell'ellisse si scrive quindi come:

\frac{3}{35}x^2+\frac{8}{35}y^2=1

da cui si ottiene facilmente

3x^2+8y^2=35

Adesso dobbiamo determinare le intersezioni tra l'ellisse e la retta di equazione x+y=1.

Impostiamo il sistema:

\begin{cases}3x^2+8 y^2=35\\ x+y=1\end{cases}

dalla seconda equazione isoliamo y al primo membro

\begin{cases}3x^2+8 y^2=35\\ y=1-x\end{cases}

Sostituiamo y=1-x nella prima equazione:

\begin{cases}3x^2+8 (1-x)^2=35\\ y=1-x\end{cases}

Sviluppa i conti:

\begin{cases}11x^2 -16 x+8=35\\ y=1-x\end{cases}

Da cui

\begin{cases}11x^2-16 x-27=0\\ y=1-x\end{cases}

Risolvi l'equazione di secondo grado:

11 x^2-16 x-27=0\iff x_1=-1, x_2= \frac{27}{11}

Ad x_1=-1 associamo y_1= 1-x_1= 2

ottenendo così il primo punto (-1,2)

Ad x_2= \frac{27}{11} associamo y_2= 1-x_2=-\frac{16}{11}

ottenendo così il punto:

(\frac{27}{11}, -\frac{16}{11})

se hai dubbi,sai cosa fare emt
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Luke, Danni

Re: Equazione dell'ellisse con due punti e intersezione con una retta #33030

avt
Danni
Sfera
Ciao Luke emt

Scriviamo l'equazione dell'ellisse nella forma

b^2x^2 + a^2y^2 = a^2b^2

Imponiamo l'appartenenza dei due punti all'ellisse sostituendo le loro coordinate nell'equazione:

\begin{cases}9b^2 + a^2 = a^2b^2 \\ b^2 + 4a^2 = a^2b^2\end{cases}

Dalla prima ricaviamo

a^2 = \frac{9b^2}{b^2 - 1}

che sostituiamo nella seconda. DIvidendo per b² otteniamo

b^2 - 1 + 36 = 9b^2 \Leftrightarrow b^2 = \frac{35}{8}

\begin{cases}a^2 = \frac{9b^2}{b^2 - 1} \\ b^2 = \frac{35}{8}\end{cases}

Quindi

\begin{cases}a^2 = \frac{35}{3} \\ b^2 = \frac{35}{8}\end{cases}

e l'equazione dell'ellisse è

\frac{3x^2}{35} + \frac{8y^2}{35} = 1

ovvero

3x^2 + 8y^2 = 35

Ora intersechiamo l'ellisse con la retta di equazione

y = - x + 1

3x^2 + 8(x - 1)^2 = 35

3x^2 + 8x^2 - 16x + 8 - 35 = 0

11x^2 - 16x - 27 = 0

\frac{\Delta}{4} = 64 + 297 = 361 = (19)^2

x_{1,2} = \frac{8 \pm 19}{11}

\begin{cases}x = - 1 \\ y = 1 - x \end{cases}

A(-1;2)

\begin{cases}x = \frac{27}{11} \\ y = 1 - x \end{cases}

B \left(\frac{27}{11}\right); \left ( - \frac{16}{11} \right)

emt
Ringraziano: Omega, Ifrit, Luke

Re: Equazione dell'ellisse con due punti e intersezione con una retta #33032

avt
Luke
Cerchio
Scusa Ifrit non ho capito come mai nel sistema da 11x^2 e 16x diventano 8x^2 e 13x

Re: Equazione dell'ellisse con due punti e intersezione con una retta #33033

avt
Ifrit
Amministratore
Ho commesso un errore di copia e incolla emt Adesso ho corretto, grazie emt
Ringraziano: Omega, Luke

Re: Equazione dell'ellisse con due punti e intersezione con una retta #33035

avt
Luke
Cerchio
Grazie a tutti!emt
Ringraziano: Danni
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Os