Perimetro e area di un quadrilatero con vertici su circonferenza

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Perimetro e area di un quadrilatero con vertici su circonferenza #32940

avt
FEDVX
Punto
Calcola perimetro e area del quadrilatero avente vertici nei quattro punti di intersezione della circonferenza di equazione

x^2+y^2-8x-8y+12=0

con gli assi coordinati.

Il libro mi da come soluzione [8(\sqrt{2}+1);\ 16]

Ringrazio in anticipo!
 
 

Perimetro e area di un quadrilatero con vertici su circonferenza #32951

avt
Ifrit
Amministratore
Ciao FEDVX,

iniziamo. Abbiamo la circonferenza

x^2+y^2-8x-8y+12=0

Determiniamo le intersezioni con l'asse X, impostando il sistema:

\begin{cases}x^2+y^2-8x -8y+12=0\\ y=0\end{cases}

Procedendo per sostituzione otteniamo:

\begin{cases}x^2-8x+12=0\\ y=0\end{cases}

Risolvi l'equazione di secondo grado con il discriminante, otterrai le soluzioni

x_1=2, x_2=6

Abbiamo trovato i primi due punti:

A=(2,0),B=(6,0)

Determiniamo ora l'intersezione tra la circonferenza e l'asse Y:

\begin{cases}x^2+y^2-8x -8 y+12=0\\ x=0\end{cases}

Sempre per sostituzione:

\begin{cases}y^2 -8 y+12=0\\ x=0\end{cases}

Risolvi l'equazione di secondo grado:

y^2-8y+12=0

è la stessa della precedente, per cui avrà le stesse soluzioni

y_1= 2, y_2= 6

Abbiamo quindi altri due punti:

C=(0,6), D=(0,2)

A questo punto calcoliamo la distanza tra i punti, essi rappresenteranno la lunghezza dei lati.

AB=|6-2|= 4

(l'ho calcolata in questo modo perché i due punti hanno la stessa ordinata)

BC=\sqrt{6^2+6^2}=6\sqrt{2}

CD=|6-2|=4

(in questo caso i due punti hanno la stessa ascissa)

DA=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}

Il perimetro è dato dalla somma degli elementi determinati

P=AB+BC+CD+DA= 8+8\sqrt{2}=8(1+\sqrt{2})

Per quanto riguarda l'area abbiamo bisogno dell'altezza, che possiamo vedere come distanza tra la retta passante per i punti B e C, ed il punto A.

Calcoliamo la retta passante per i punti B e C, con la formula della retta passante per due punti

r: \frac{y-6}{-6}=\frac{x}{6}\implies y= 6-x

Scriviamo l'equazione della retta in forma implicita:

r: x+y-6=0

Con la formula distanza-retta calcoliamo l'altezza:

H= \frac{|2-6|}{\sqrt{2}}= \frac{4}{\sqrt{2}}= 2\sqrt{2}

L'area è:

Area= \frac{(BC+AD) H}{2}=\frac{(6\sqrt{2}+2\sqrt{2})2\sqrt{2}}{2}=16
Ringraziano: Omega, Pi Greco

Perimetro e area di un quadrilatero con vertici su circonferenza #32957

avt
Danni
Sfera
Dunque hai una circonferenza di centro Q(4;4) e raggio r = 2\sqrt5.

Le coordinate delle intersezioni con l'asse x (y = 0) sono date da

\\ \begin{cases}x^2 - 8x + 12 = 0 \Leftrightarrow (x - 2) (x - 6) = 0 \\ y = 0 \end{cases}\\ \\ \\ A(2;0)\ \ \ B(6;0)

Le intersezioni della circonferenza con l'asse y (x = 0)
portano alle stesse soluzioni in y:

C(0;6)\ \ \ D(0;2)

Si è quindi formato il trapezio isoscele ABCD. La base minore AD è la diagonale di un quadrato di lato 2:

\overline{AD} = 2\sqrt2

La base maggiore BC è la diagonale di un quadrato di lato 6:

\overline{BC} = 6\sqrt2

I lati obliqui misurano

\overline{AB}= \overline{CD} = |xA -xB| = |yC - yD| = 4

Il perimetro è quindi dato da

2p(ABCD) = 8\sqrt2 + 8 = 8(\sqrt2 + 1)

Ora da A porta il segmento di perpendicolare AH alla base maggiore BC.

Tale segmento è la diagonale di un quadrato di lato 2:

\overline{AH} = 2\sqrt2

quindi

Area(ABCD) = (\overline{AD} + \overline{BC})\cdot \frac{\overline{AH}}{2}} = \frac{8\sqrt2\cdot 2\sqrt2}{2} = 16
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Ifrit
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Os