Equazione dell'ellisse con punto e un asse

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Equazione dell'ellisse con punto e un asse #32574

avt
Luke
Cerchio
Ciao ragazzi, mi dareste una mano con un esercizio sull'equazione dell'ellisse? Devo ricavarla con un punto e un asse...

...il testo dice:

Scrivere l'equazione dell'ellisse, riferita al centro e agli assi, sapendo che passa per il punto \left(\frac{5}{2} \sqrt{3},2\right), che l'asse maggiore misura 10 e che i fuochi appartengono all'asse delle ascisse.

Il risultato è 16x^2+25y^2=400

Grazie
 
 

Equazione dell'ellisse con punto e un asse #32580

avt
Veny
Cerchio
Ciao emt l'equazione dell'ellisse è:

\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1

Sostituiamo il punto, sapendo che se l'asse maggiore è 2a=10  \Rightarrow   a=5 :

\frac{25\cdot 3 }{4}\frac{1}{25}+\frac{4}{b^{2}}=1

da qui ricaviamo b^{2}=16.

Quindi la nostra equazione sarà:

\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{16}=1

\Rightarrow 16x^{2}+25y^{2}=400
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Ifrit, Luke

Equazione dell'ellisse con punto e un asse #32581

avt
Luke
Cerchio
grazie emt
Ringraziano: Omega

Equazione dell'ellisse con punto e un asse #32582

avt
Ifrit
Amministratore
Ciao Luke, l'equazione dell'ellisse riferita agli assi e al centro è (vedi formule dell'ellisse):

\Gamma:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1

Poiché il fuoco giace sull'asse delle ascisse allora l'asse maggiore è sull'asse X, il che vuol dire che:

a=\frac{10}{2}=5

Sostituiamo nella equazione:

\Gamma:\frac{x^2}{5^2}+\frac{y^2}{b^2}=1

\Gamma:\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{b^2}=1

Imponiamo il passaggio per il punto \left(\frac{5}{2} \sqrt{3},2\right), sostituendo le coordinate del punto nella equazione:

\frac{\frac{25}{4}\cdot 3}{25}+ \frac{4}{b^2}=1

da cui

\frac{3}{4}+\frac{4}{b^2}=1

Determiniamo b^2

\frac{4}{b^2}= 1-\frac{3}{4}= \frac{1}{4}

da cui

\frac{b^2}{4}= 4

Moltiplicando membro a membro per 4

b^2= 16

L'equazione dell'ellisse è:

\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1

Minimo comune multiplo:

\frac{16 x^2+25 y^2}{400}=1

Moltiplica membro a membro per 400

16x^2+ 25 y^2= 400

emt
Ringraziano: Omega, Luke, Veny

Equazione dell'ellisse con punto e un asse #32585

avt
Ifrit
Amministratore
@Veny: Scusami, non avevo visto la tua risposta emt
Ringraziano: Omega, Luke, Veny

Equazione dell'ellisse con punto e un asse #32590

avt
Danni
Sfera
Ciao Luke emt

Partiamo dall'equazione canonica dell'ellisse:

\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1

che con l'operazione di denominatore comune può anche essere scritta come

b^2x^2 + a^2y^2 = a^2b^2

L'asse focale appartiene all'asse delle ascisse.
Semiasse maggiore:

a = 5 \Leftrightarrow a^2 = 25

Poiché il punto dato appartiene all'ellisse, le sue coordinate devono verificare l'equazione e le sostituiamo insieme al valore di a² nell'equazione dell'ellisse:

\frac{25\cdot 3}{4}\;b^2 + 25\cdot 4 = 25b^2

3b^2 + 16 = 4b^2

b^2 = 16

L'equazione dell'ellisse è quindi

16x^2 + 25y^2 = 400

emt
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Ifrit, Luke
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Os