Problema con parabola, circonferenza e retta

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Problema con parabola, circonferenza e retta #31812

avt
Smoke
Punto
Riporto di seguito questo problema con parabola, circonferenza e retta che non riesco a risolvere assolutamente.

Data la parabola di equazione y=x^2-10x+16 che interseca nei punti A e B l'asse delle ascisse determinare:

- l'equazione della circonferenza passante per A e B tangente all'asse delle ordinate

- le coordinate del punto P appartenente alla parabola in cui la tangente è parallela alla retta y=2x

- calcolare l'area di APBC
Ringraziano: Rosy, micheleminno
 
 

Problema con parabola, circonferenza e retta #31816

avt
Danni
Sfera
Hello Smoke (pare di essere a Piccadilly emt )

Hai la parabola di equazione

y = x^2 - 10x + 16

Per determinare le coordinate dei due punti di intersezione con l'asse x interseca la parabola con l'asse x impostando il sistema

\begin{cases}(x - 2)(x - 8) = 0 \\ y = 0 \end{cases}

ed ottieni

A(2;0)

B(8;0)

La circonferenza non è una sola, sono due.

Poiché passa per A e per B, la circonferenza ha il centro che appartiene all'asse del segmento AB, la cui equazione è

x = 5

Le coordinate del centro C sono quindi

C(5;k)

e il raggio diciamo CD perpendicolare all'asse y misura

\overline{CD} = |xC| = 5}

Poiché deve essere

\overline{CD} = \overline{CA}= \overline{CB}

risulta

5 = \sqrt{9 + k^2}

da cui

k^2 = 16 \Leftrightarrow k = \pm 4

Coordinate del centro:

C(5;\pm 4)

Equazione della circonferenza:

(x - xC)^2 + (y - yC)^2 = r^2

(x - 5)^2 + (y \pm  4)^2 = 25

x^2 + y^2 - 10x \pm 8y + 16 = 0

La retta assegnata ha coefficiente angolare m = 2 che è lo stesso coefficiente angolare della tangente alla parabola in P
(rette parallele hanno uguale coefficiente angolare).
Determiniamo l'ascissa di P

m = 2a(xP) + b

dove a, b sono i coefficienti dei termini della parabola.

2 = 2(1)(xP) - 10

da cui

xP = 6

Calcoliamo l'ordinata di P sostituendo l'ascissa di P nell'equazione della parabola:

yP = 36 - 60 + 16 = - 8

P(6;-8)

Il quadrilatero APBC è suddiviso dall'asse x nei due triangoli ACB e APB che hanno la base AB in comune.

\overline{AB} = |xA - xB| = |2 - 8| = |-6| = 6

Nel triangolo ACB l'altezza CH è l'ordinata di C in v.a.

\overline{CH} = |yC| = 4

Nel triangolo APB l'altezza PK è l'ordinata di P in v.a.

\overline{PK} = |yP| = |-8| = 8

Area del triangolo ABC:

A_1 = \frac{\overline{AB}\cdot \overline{CH}}{2} = 12

Area del triangolo APB: poichè l'altezza del triangolo APB è doppia dell'altezza del triangolo ACB, è doppia anche la sua area:

A_2 = 24

Area del quadrilatero APBC:

A(APBC) = A_1 + A_2 = 36

emt
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Ifrit, Smoke

Problema con parabola, circonferenza e retta #31820

avt
Smoke
Punto
Davvero grazie mille per la celerità e la chiarezza nelle spiegazioni emt
Ringraziano: Danni

Problema con parabola, circonferenza e retta #31821

avt
Danni
Sfera
Grazie a te, ciao emt
Ringraziano: Omega, Ifrit, Smoke

Problema con parabola, circonferenza e retta #31822

avt
Smoke
Punto
Scusami ancora, solo una piccola osservazione riguardante le coordinate del punto P: se P=(6;-8) non appartiene alla parabola, contrariamente a quanto dovrebbe essere, correggimi se sbaglio.
Grazie in anticipo
Ringraziano: Danni

Problema con parabola, circonferenza e retta #31825

avt
Danni
Sfera
Eccomi eccomi emt

Il punto P deve appartenere alla parabola o crolla tutto.

Proviamo a sostituire le coordinate di

P(6;-8)

nell'equazione della parabola

y = x^2 - 10x + 16

- 8 = 6^2 - 10(6) + 16

- 8 = 36 - 60 + 16

- 8 = - 8

P appartiene alla parabola

Però forse non ho capito bene la tua domanda. Ti chiedi 'se P non appartiene alla parabola' per quale motivo?

emt
Ringraziano: Omega, Smoke

Problema con parabola, circonferenza e retta #31826

avt
Smoke
Punto
Inanzitutto rigrazie emt La mia preoccupazione è nata quando, andando a disegnare il punto P nel piano cartesiano, non apparteneva fisicamente alla parabola. Adesso, secondo i calcoli fatti precedentemente, errori nel calcolo di vertice della parabola e nel conseguente disegno non dovrebbero essercene (comunque mi fido poco di me stesso in ambito matematico) però, se tutto è giusto, il punto P viene di molto esterno alla parabola.
Ringraziano: Danni

Problema con parabola, circonferenza e retta #31827

avt
Danni
Sfera
Vediamo subito.

Il vertice della parabola ha

xV = -\frac{b}{2a} = \frac{10}{2} = 5

yV = 25 - 50 + 16 = - 9

V(5;-9)

Disegnando, dal punto A passi al vertice V, poi da V passi a B
Nel passare da V a B, subito alla destra di V incontri P che appartiene alla parabola.

La prova matematica è che sostituendo le coordinate di P l'equazione della parabola è verificata.

Ti do altri punti della parabola, così provi a ridisegnarla. Senz'altro c'è qualche errore di calcolo che ti porta fuori strada.

V(5;-9)

A(2;0)

B(8;0)

P(6;-8)

Q(4;-8)

D(7;-5)

E(3;-5)

Questi punti appartengono alla parabola perché ne verificano l'equazione.

emt
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Smoke

Re: Problema con parabola, circonferenza e retta #31863

avt
Smoke
Punto
Si scusa, ho poi ricontrollato e non apparteneva alla parabola per un mio errore nel calcolare l'ordinata del vertice (non ho usato la formula ridotta nel calcolare il delta). Grazie mille per la pazienza, la correttezza e la correzione!! emt
Ringraziano: Danni

Re: Problema con parabola, circonferenza e retta #31867

avt
Danni
Sfera
Ciao Smoke emt

Ti do un consiglio: anziché calcolare l'ordinata del vertice con la formula, sostituisci direttamente l'ascissa del vertice nell'equazione della parabola come ho fatto io ed ottieni subito la tua yV
Il calcolo è molto semplificato e non hai bisogno del Delta.

Grazie a te, ciao* emt
Ringraziano: Omega, Smoke
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Os