Problema con parabola, circonferenza e retta

Vi propongo un esercizio di riepilogo di Geometria Analitica su parabola, circonferenza e retta. Purtroppo non sto proprio riuscendo a venirne a capo.

La parabola di equazione



interseca l'asse delle ascisse nei punti . Determinare:

- l'equazione della circonferenza passante per i punti e tangente all'asse delle ordinate;

- le coordinate del punto appartenente alla parabola in cui la tangente è parallela alla retta .

Ci viene assegnata la parabola di equazione



e dobbiamo calcolare:

- le coordinate cartesiane dei punti di intersezione tra la parabola e l'asse delle ascisse;

- l'equazione della circonferenza che passa per i punti e che è tangente all'asse delle ordinate;

- le coordinate del punto appartenente alla parabola in cui la tangente è parallela alla retta .

Risolviamo i tre punti separatamente.


Punti di intersezione tra parabola e asse delle ascisse

Per trovare le coordinate cartesiane dei punti di intersezione tra la parabola e l'asse delle ascisse basta risolvere il sistema formato dall'equazione della parabola e dall'equazione dell'asse x:



Sostituiamo nella prima equazione e otteniamo la seguente equazione di secondo grado nell'incognita



Le sue soluzioni, che possiamo calcolare con la formula ridotta, sono:



Di conseguenza i punti di intersezione tra la parabola e l'asse delle ascisse sono:




Equazione della circonferenza

Dobbiamo ora trovare l'equazione della circonferenza che passa per i punti e che è tangente all'asse y.

Scriviamo equazione di una circonferenza in forma generale



e calcoliamo i valori di imponendo il passaggio per i punti e la tangenza all'asse y.

Un punto appartiene alla circonferenza se le coordinate cartesiane del punto ne soddisfano l'equazione, per cui imponendo il passaggio per troviamo la condizione



ossia



Analogamente, imponendo il passaggio per il punto , troviamo la condizione



Richiediamo ora che la circonferenza sia tangente all'asse y: mettiamo a sistema l'equazione della circonferenza con l'equazione dell'asse y



Sostituiamo nella prima equazione e ricaviamo un'equazione di secondo grado in



Circonferenza e retta sono tangenti se e solo se questa equazione ammette due soluzioni reali e coincidenti, e ciò avviene quando il discriminante a essa associato è nullo.

La terza e ultima condizione è, quindi:



Mettiamo a sistema le tre condizioni:



e risolviamo il sistema che ne scaturisce.

Esplicitiamo dalla prima equazione



e sostituiamo nella seconda



Calcoliamo dalla seconda equazione e sostituiamo nella prima, da cui troviamo



Sostituiamo nella terza equazione e troviamo due valori di



Le soluzioni del sistema sono



per cui abbiamo due circonferenze che passano per i punti e che sono tangenti all'asse y:




Coordinate cartesiane del punto di tangenza

Dobbiamo ora calcolare le coordinate cartesiane del punto di tangenza tra la parabola e la retta parallela alla retta .

Partiamo dall'equazione di una retta in forma esplicita



Due rette parallele hanno lo stesso coefficiente angolare. Poiché il coefficiente angolare della retta è pari a 2, allora la retta ha un'equazione della forma



Per calcolare il valore dell'ordinata all'origine mettiamo a sistema l'equazione della retta con l'equazione della parabola



Troviamo l'equazione risolvente sostituendo nella seconda equazione



e impostiamo la condizione di tangenza tra retta e parabola richiedendo che il discriminante dell'equazione associata sia nullo:



L'equazione della retta tangente è



Ci siamo quasi! Per trovare le coordinate cartesiane di basta risolvere il sistema



La sua unica soluzione è



e quindi il punto di tangenza cercato è .

È tutto!

Davvero grazie mille per la celerità e la chiarezza nelle spiegazioni