Problema con parabola, circonferenza e retta

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Problema con parabola, circonferenza e retta #31812

avt
Smoke
Punto
Vi propongo un esercizio di riepilogo di Geometria Analitica su parabola, circonferenza e retta. Purtroppo non sto proprio riuscendo a venirne a capo.

La parabola di equazione

y=x^2-10x+16

interseca l'asse delle ascisse nei punti A, B. Determinare:

- l'equazione della circonferenza passante per i punti A,B e tangente all'asse delle ordinate;

- le coordinate del punto P appartenente alla parabola in cui la tangente è parallela alla retta y=2x.
Ringraziano: Rosy, micheleminno
 
 

Problema con parabola, circonferenza e retta #31816

avt
Danni
Sfera
Ci viene assegnata la parabola di equazione

y=x^2-10x+16

e dobbiamo calcolare:

- le coordinate cartesiane dei punti A,B di intersezione tra la parabola e l'asse delle ascisse;

- l'equazione della circonferenza che passa per i punti A,B e che è tangente all'asse delle ordinate;

- le coordinate del punto P appartenente alla parabola in cui la tangente è parallela alla retta y=2x.

Risolviamo i tre punti separatamente.


Punti di intersezione tra parabola e asse delle ascisse

Per trovare le coordinate cartesiane dei punti A,B di intersezione tra la parabola e l'asse delle ascisse basta risolvere il sistema formato dall'equazione della parabola e dall'equazione dell'asse x:

\begin{cases}y=x^2-10x+16 \\ y=0 \end{cases}

Sostituiamo y=0 nella prima equazione e otteniamo la seguente equazione di secondo grado nell'incognita x

x^2-10x+16=0

Le sue soluzioni, che possiamo calcolare con la formula ridotta, sono:

x_1=2 \ \ ; \ \ x_2=8

Di conseguenza i punti di intersezione tra la parabola e l'asse delle ascisse sono:

A(2,0) \ \ ; \ \ B(8,0)


Equazione della circonferenza

Dobbiamo ora trovare l'equazione della circonferenza che passa per i punti A,B e che è tangente all'asse y.

Scriviamo equazione di una circonferenza in forma generale

x^2+y^2+ax+by+c=0

e calcoliamo i valori di a,b,c imponendo il passaggio per i punti A,B e la tangenza all'asse y.

Un punto appartiene alla circonferenza se le coordinate cartesiane del punto ne soddisfano l'equazione, per cui imponendo il passaggio per A(2,0) troviamo la condizione

2^2+0^2+2a+0b+c=0

ossia

4+2a+c=0

Analogamente, imponendo il passaggio per il punto B(8,0), troviamo la condizione

64+8a+c=0

Richiediamo ora che la circonferenza sia tangente all'asse y: mettiamo a sistema l'equazione della circonferenza con l'equazione dell'asse y

\begin{cases}x^2+y^2+ax+by+c=0 \\ x=0\end{cases}

Sostituiamo x=0 nella prima equazione e ricaviamo un'equazione di secondo grado in y

y^2+by+c=0

Circonferenza e retta sono tangenti se e solo se questa equazione ammette due soluzioni reali e coincidenti, e ciò avviene quando il discriminante a essa associato è nullo.

La terza e ultima condizione è, quindi:

b^2-4c=0

Mettiamo a sistema le tre condizioni:

\begin{cases}4+2a+c=0 \\ 64+8a+c=0 \\ b^2-4c=0\end{cases}

e risolviamo il sistema che ne scaturisce.

Esplicitiamo c dalla prima equazione

\begin{cases}c=-4-2a \\ 64+8a+c=0 \\ b^2-4c=0\end{cases}

e sostituiamo nella seconda

\begin{cases}c=-4-2a \\ 64+8a+(-4-2a)=0 \\ b^2-4c=0\end{cases}

Calcoliamo a dalla seconda equazione e sostituiamo nella prima, da cui troviamo c

\begin{cases}c=-4-2a=-4+20=16 \\ a=-10 \\ b^2-4c=0\end{cases}

Sostituiamo c=16 nella terza equazione e troviamo due valori di b

\begin{cases}c=16 \\ a=-10 \\ b^2-64=0 \ \to \ b=\pm 8\end{cases}

Le soluzioni del sistema sono

(a,b,c)=(-10,\pm 8,16)

per cui abbiamo due circonferenze che passano per i punti A,B e che sono tangenti all'asse y:

\\ C_1: \ x^2+y^2-10x+8y+16=0 \\ \\ C_2: \ x^2+y^2-10x-8y+16=0


Coordinate cartesiane del punto di tangenza

Dobbiamo ora calcolare le coordinate cartesiane del punto P di tangenza tra la parabola e la retta r parallela alla retta y=2x.

Partiamo dall'equazione di una retta in forma esplicita

r: \ y=mx+q

Due rette parallele hanno lo stesso coefficiente angolare. Poiché il coefficiente angolare della retta y=2x è pari a 2, allora la retta r ha un'equazione della forma

r: \ y=2x+q

Per calcolare il valore dell'ordinata all'origine q mettiamo a sistema l'equazione della retta con l'equazione della parabola

\begin{cases}y=2x+q \\ y=x^2-10x+16\end{cases}

Troviamo l'equazione risolvente sostituendo y=2x+q nella seconda equazione

\\ 2x+q=x^2-10x+16 \ to \\ \\ \to \ x^2 - 12x + 16-q = 0

e impostiamo la condizione di tangenza tra retta e parabola richiedendo che il discriminante dell'equazione associata sia nullo:

\frac{\Delta}{4} = 36 - (16-q) = 0 \ \to \ q=-20

L'equazione della retta tangente è

r: \ y=2x-20

Ci siamo quasi! Per trovare le coordinate cartesiane di P basta risolvere il sistema

\begin{cases}y=2x-20 \\ y=x^2-10x+16\end{cases}

La sua unica soluzione è

(x,y)=(6,-8)

e quindi il punto di tangenza cercato è P(6,-8).

È tutto!
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Ifrit, Smoke

Problema con parabola, circonferenza e retta #31820

avt
Smoke
Punto
Davvero grazie mille per la celerità e la chiarezza nelle spiegazioni emt
Ringraziano: Danni
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Os