Problema di Geometria Analitica con discussione - semicirconferenza

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Problema di Geometria Analitica con discussione - semicirconferenza #31657

avt
drago95
Cerchio
Ho un problema di Geometria Analitica di cui devo fare la discussione, e che non riesco a risolvere...eccolo:

Data una semicirconferenza di diametro AB=4a, sul prolungamento di AB dalla parte di B considera un punto C tale che BC sia uguale al raggio. Preso sulla semicirconferenza un punto P, determina la funzione y=|PC^2-8PB| al variare della distanza di P da B. (Per il grafico poni a=1).

Verificato che la funzione trovata è

y=|2x^2-8x+4|

rappresentala graficamente mettendo in evidenza il tratto relativo al problema. Scrivi l'equazione della circonferenza che ha per diametro il segmento che congiunge il vertice della parabola con il suo punto D di intersezione con l'asse y.

Trova l'equazione della retta t tangente alla circonferenza in D e, detto E il punto in cui t interseca l'asse x, scrivi l'equazione della funzione omografica che ha centro di simmetria E e passa per D.

Verifica che la retta tangente in D alla funzione omografica è la simmetrica di t rispetto all'asse y.

Nell'attesa di una vostra risposta vi ringrazio anticipatamente...
 
 

Problema di Geometria Analitica con discussione - semicirconferenza #31683

avt
Danni
Sfera
Ciao Drago emt

Indica

\overline{PB} = x

0 \leq x \leq 4a

Per il primo teorema di Euclide:

\overline{HB}= \frac{\overline{PB}}{\overline{AB}} = \frac{x^2}{4a}

Per il teorema di Pitagora:

{\overline{PH^2} = \overline{PB^2} - \overline{HB^2} = \frac{16a^2x^2 - x^4}{16a^2}

\overline{HC} = \overline{HB} + \overline{BC} = \frac{x^2 + 8a^2}{4a^2}

Per il teorema di Pitagora:

\overline{PC^2} = \overline{PH^2} + \overline{HC^2} = \frac{32a^2x^2 + 64a^4}{16a^2} = 2x^2 + 4a^2

Quindi, per

a = 1

y = |2x^2 - 8x + 4|

y = 2|x^2 - 4x + 2|

L'equazione di secondo grado associata all'argomento del valore assoluto ha soluzioni

x_{1,2} = 2 \pm \sqrt2

Se l'argomento è positivo, risulta quindi

\begin{cases}x < 2 - \sqrt2 \cup x \geq 2 + \sqrt2 \\ y = 2x^2 - 8x + 4 \\ 0 \leq x \leq 4;\;y \geq 0\end{cases}

Se invece l'argomento è negativo, risulta

\begin{cases}2 - \sqrt2 \leq x < 2 + \sqrt2 \\ y = - 2x^2 + 8x - 4 \\ 0 \leq x \leq 4; \;y \geq 0 \end{cases}

Disegna i due grafici e considera solo la parte di curva compresa nelle limitazioni.

Ora però il testo non è chiaro. A quale delle due parabole si fa riferimento? Dovrebbe trattarsi della prima ma attendo conferma.

emt
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Ifrit, drago95

Problema di Geometria Analitica con discussione - semicirconferenza #31693

avt
Danni
Sfera
Tutto tace, io proseguo. Allora diciamo che la parabola sia la prima. Ed è proprio così emt

y = 2x^2 - 8x + 4

in accordo con le formule della parabola, si trova che essa ha vertice in

V(2;-4)

Il punto D ha coordinate

D(0;4)

Diametro della circonferenza:

\overline{DV}= \sqrt{4 + 64} = \sqrt{68} = 2\sqrt{17}

Raggio della circonferenza:

r = \frac{\overline{DV}}{2} = \sqrt{17}

Il centro della circonferenza è il punto medio C del diametro DV:

C(1;0)

Equazione della circonferenza:

(x - xC)^2 + (y - yC)^2 = r^2

(x - 1)^2 + y^2 = 17

x^2 + y^2 - 2x - 16 = 0

Il fascio di rette di centro D ha equazione

mx - y + 4 = 0

La distanza tra il centro della circonferenza e la retta tangente è congruente alla misura del raggio (formula della distanza punto-retta)

\frac{|axC + byC + c|}{\sqrt{1 + m^2}}} = r

\frac{|m + 4|}{\sqrt{1 + m^2}} = \sqrt{17}

|m + 4| = \sqrt{17 + 17m^2}

Eleva al quadrato:

m^2 + 8m + 16 = 17 + 17m^2

16m^2 - 8m + 1 = 0

(4m - 1)^2 = 0 \Leftrightarrow m = \frac{1}{4}

e l'equazione della retta t tangente alla circonferenza in D è

t: x - 4y + 16 = 0

che interseca l'asse x in

E(-16;0)

La funzione omografica

y = \frac{ax + b}{x + d}

ha centro in E:

x = - d \Rightarrow - 16 = - d \Leftrightarrow d = 16

y = a \Rightarrow a = 0

e passa per D:

4 = \frac{b}{d}

\begin{cases}a = 0 \\ d = 16 \\ \frac{b}{d} = 4 \Rightarrow b = 64\end{cases}

Equazione omografica:

y = \frac{64}{x + 16}

che scriviamo come

xy + 16y - 64 = 0

Il fascio di rette passante per D ha equazione

y = mx + 4

Sostituiamo nell'equazione dell'iperbole:

x(mx + 4) + 16(mx + 4) - 64 = 0

mx^2 + 4x + 16mx + 64 - 64 = 0

mx^2 + 4(4m + 1)x = 0

Imponiamo nullo il discriminante per la condizione di tangenza:

\frac{\Delta}{4} = (4m + 1)^2 = 0

m = - \frac{1}{4}

e l'equazione della tangente in D alla funzione omografica è

x + 4y - 16 = 0

Come si può verificare se due rette sono simmetriche rispetto all'asse y? Nella prima è sufficiente cambiare x in - x

La retta t, tangente alla circonferenza ha equazione

x - 4y + 16 = 0

Cambiamo x in - x

- x - 4y + 16 = 0

ed otteniamo

x + 4y - 16 = 0

che è l'equazione della tangente alla funzione omografica.

E' così provato che le due rette sono simmetriche rispetto all'asse y.
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Ifrit, drago95
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