Fascio di iperboli e fuochi

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Fascio di iperboli e fuochi #31596

avt
Dave
Punto
Ciao! Non so dove sbattere la testa con un esercizio su un fascio di iperboli e fuochi. Il testo dice:

trova per quali valori del parametro k l'equazione del fascio di iperboli

\frac{x^{2}}{2k+6}+\frac{y^{2}}{2k}=1

rappresenta un'iperbole con i fuochi sull'asse x e un'iperbole con i fuochi sull'asse y.

A quanto pare 3 mesi di vacanza mi hanno fatto davvero male...
 
 

Fascio di iperboli e fuochi #31612

avt
Danni
Sfera
Ciao Dave,

consideriamo il fascio di iperboli di equazione

\\ \frac{x^2}{2(k + 3)} + \frac{y^2}{2k} = 1\\ \\ \\ \mbox{con}\\ \\ 2(k + 3) = a^2\\ \\ 2k = b^2


A) è un'iperbole con i fuochi sull'asse x quando risulta

\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1

Deve essere quindi

\begin{cases}k + 3 > 0 \Leftrightarrow k > - 3  \\ k < 0\end{cases}

Il sistema è verificato per

- 3 < k < 0


B) è un'iperbole con fuochi sull'asse y quando risulta

- \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1

In questo caso deve essere

\begin{cases}k + 3 < 0 \Leftrightarrow k < - 3  \\ k > 0\end{cases}

e il sistema è impossibile. Non vi sono iperboli del fascio che abbiano i fuochi sull'asse y.
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Dave
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Os