Discussione di un problema geometrico su un quarto di circonferenza.

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Discussione di un problema geometrico su un quarto di circonferenza. #31441

avt
drago95
Cerchio
Ciao, di queste discussioni di problemi geometrici con le funzioni non me ne viene neanche una...Qui devo fare la discussione di un problema con un quarto di circonferenza.

Eccolo: è dato un quarto di cerchio con centro O, raggio di misura 4a e A e B estremi dell'arco relativo. Il raggio OC è bisettrice dell'angolo AOB.
Considera un punto P sull'arco CA e traccia la parallela a OA che taglia OC in D. K e H sono le proiezioni rispettivamente di D e P su OA.
Determina e rappresenta la funzione che esprime il perimetro del rettangolo DPKH in funzione di PH. (per il grafico poni a=1).


Allora io ho fatto il disegno: ho posto PH = x. Poiché il testo afferma "in funzione di PH".

So che PH = DK = x.
So che AO = OB = raggio = 4a.

Stop, non riesco ad andare più avanti... I risultati secondo il libro sono:

y=2\sqrt{16-x^2},\mbox{ con }0<x<2\sqrt{2}

Nell'attesa di una risposta vi ringrazio anticipatamente e vi saluto.
 
 

Discussione di un problema geometrico su un quarto di circonferenza. #31449

avt
Ifrit
Ambasciatore
Ciao Drago95, prenderò in considerazione la seguente figura per risolvere l'esercizio emt

problemadigeometria

Come giustamente hai osservato:

PH= x= DK

Il nostro scopo è quello di determinare KH, e per farlo prendi in considerazione il triangolo rettangolo OHP di cui conosciamo

OP= 4a (coincide con il raggio) e PH=x.

Tramite le formule inverse del teorema di Pitagora abbiamo:

OH= \sqrt{OP^2-PH^2}= \sqrt{16 a^2- x^2}

Per costruzione abbiamo che

OK= DK= x

quindi

KH= KH-OK= \sqrt{16 a^2-x^2}-x

Abbiamo i lati del rettangolo, possiamo quindi determinare il suo perimetro:

Perimetro= 2(KH+DK)= 2(\sqrt{16a^2-x^2}-x+x)= 2\sqrt{16a^2-x^2}

Per quanto riguarda il dominio, dovremmo imporre:

0<PH<C_y

dove C_y è l'ordinata del punto di intersezione tra la retta di equazione y=x e la circonferenza di equazione:

x^2+y^2= 16 a^2

Quindi devi imporre il sistema:

\begin{cases}y=x\\ x^2+y^2=16 a^2\end{cases}

Risolvendo il sistema otterrai (tra gli altri valori):

y=2\sqrt{2}a

Quindi:

0<x<2\sqrt{2}a

Sostituisci ad a il valore 1 ed otterrai il risultato che vuole il libro emt
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Danni, drago95

Discussione di un problema geometrico su un quarto di circonferenza. #31454

avt
Veny
Cerchio
Ciao... emt

Cominciamo con il dire che y=2PH+2DP

Dove come giustamente hai detto te PH=x
Quindi dobbiamo solo determinare DP.

DP=TP-DT dove T è in punto d'incontro tra OB e la retta passante per P parallela a OA.

Determiniamo DT.
Questo si trova all'interno di un triangolo rettangolo isoscele (quindi con angoli di 45°) DTO:
Rettangolo perchè: PT è perpendicolare a OB
Isoscele perchè: l'angolo BODè di 45°

e quindi abbiamo che OT=DT
ma è anche vero che OT=PH
\Rightarrow  DT=PH=x


Determiniamo TP.
Traccia il raggio OP e vedrai comparire un altro triangolo rettangolo OPT.
Conoscendo sia OT che OP tramite il teorema di pitagora potrai calcolare TP

e in pochi calcoli arriverai alla tua soluzione.

Per quanto riguarda il limite di x, puoi osservare che se P \in  CA come arco, allora il segmento PH al minimo potrà valere 0 mentre al massimo 2\sqrt{2} in quanto sarà lato di un triangolo rettangolo isoscele ODH che avrà diagonale lunga4.

Per qualsiasi problema sono qua... emt
Se riesco ti posto un grafico.
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Ifrit, drago95

Discussione di un problema geometrico su un quarto di circonferenza. #31501

avt
Danni
Sfera
Hello emt
Chi fa cene e baraonde / in ritardo poi risponde emt

Porta la perpendicolare CE al raggio OA.
Il triangolo rettangolo OCE è isoscele sulla base OC

\overline{OE} = \overline{CE} = \frac{\overline{OC}}{\sqrt2} = \frac{4a}{\sqrt2} = 2a\sqrt2

Indica

\overline{PH} = x

Poiché P si muove sull'arco AC da A a C, le limitazioni per l'incognita sono

0 \leq x \leq 2a\sqrt2

ma poiché per i casi limite il rettangolo degenera in un segmento, non accettiamo le attenuazioni ed è

0 < x < 2a\sqrt2

Nel triangolo rettangolo OPH è

\overline{OH} = \sqrt{{OP^2} - PH^2} = \sqrt{16a^2 - x^2}

Le condizioni di realtà del radicale sono implicite nelle limitazioni date.

Nel triangolo rettangolo isoscele OKD è

\overline{OK} = \overline{DK} = \overline{PH}= x

La base del rettangolo è data da

\overline{KH} = \overline{OH} - \overline{OK} = \sqrt{16a^2 - x^2} - x

L'altezza del rettangolo è data da

\overline{PH} = x

2p(DPHK) = 2(\overline{KH} + \overline{PH}) = 2\sqrt{16a^2 - x^2}

Imponendo

a = 1

y = 2\sqrt{16 - x^2}

Con

0 < x < 2\sqrt2;\;y > 0

eleva al quarato:

y^2 = 4(16 - x^2)

4x^2 + y^2 = 64

Dividi per 64:

\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{64} = 1

L'equazione rappresenta analiticamente un'ellisse con centro nell'origine e con

a^2 = 16 \Leftrightarrow a = 4

b^2 = 64 \Leftrightarrow b = 8

Poiché y è positiva e per le limitazioni, della semiellisse situata nel I e II quadrante consideri solo l'arco situato nel primo quadrante i cui estremi sono dati dalle limitazioni

0 < x < 2\sqrt2

emt
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Ifrit, drago95
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