Proprietà iperbole e secanti

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Proprietà iperbole e secanti #31342

avt
Panzerotta
Punto
Non riesco a capire come svolgere la dimostrazione di una proprietà dell'iperbole e delle secanti, potreste aiutarmi?

Considerata l'iperbole di equazione (x^2)/(16)-(y^2)/(9) = 1, verifica che qualunque retta secante intercetta sull'iperbole stessa e sui suoi asintoti due segmenti che hanno lo stesso punto medio.

Grazie
 
 

Proprietà iperbole e secanti #31400

avt
Danni
Sfera
Ci viene assegnata l'iperbole di equazione

(x^2)/(16)+(y^2)/(9) = 1

e dobbiamo verificare che qualunque retta secante l'iperbole intercetta sull'iperbole stessa e sui suoi asintoti due segmenti che hanno lo stesso punto medio.

In generale gli asintoti dell' iperbole hanno equazione

y = ±(b)/(a)x

Nel nostro caso a = 4 e b = 3, dunque gli asintoti dell'iperbole considerata sono le rette:

y = ±(3)/(4)x

Ciò premesso, affinché una qualsiasi retta del piano

y = mx+q

e l'iperbole assegnata siano secanti in due punti appartenenti a rami distinti dell'iperbole, dev'essere

-(3)/(4) < m < (3)/(4)

Verifichiamolo! Intersechiamo ora l'iperbole con la retta generica di equazione

y = mx+q

mediante il sistema

9x^2-16y^2 = 144 ; y = mx+q

ottenendo la risultante

9x^2-16(mx+q)^2-144 = 0

ossia

(9-16m^2)x^2-32 mqx-16(q^2+9) = 0

Perché la retta sia secante dobbiamo imporre che sia

(Δ)/(4) > 0

Calcoliamo il delta quarti:

 (Δ)/(4) = 256m^2q^2+16(9-16m^2)(q^2+9) = 144(q^2+9-16m^2)

e imponiamo che sia maggiore di zero

(Δ)/(4) > 0 → 144(q^2+9-16m^2) > 0

Abbiamo così ottenuto un'disequazione di secondo grado che è verificata per ogni q ∈ R a patto che venga soddisfatta seguente la condizione:

-(3)/(4) < m < (3)/(4)

Diciamo poi A e B i punti di intersezione dell'iperbole con la retta.

x_(A,B) = (16mq±12√(q^2+9-16m^2)))/(9-16m^2)

L'ascissa del punto medio M di AB è data dalla semisomma delle ascisse di A e di B:

 x_M = (16mq+12 √((Δ)/(4))+16mq-12√((Δ)/(4)))/(2(9-16m^2)) ; x_M = (16mq)/(9-6m^2) ; y_M = mx+q

Intersechiamo la retta con un asintoto:

y = mx+q ; y = (3)/(4)x

La risolvente dà

mx_C+q = (3)/(4)x

da cui

x_C = (4q)/(3-4m)

Intersechiamo la retta con l'altro asintoto

y = mx+q ; y = -(3)/(4)x

ed otteniamo la risolvente

mx_D+q = -4q

da cui

x_D = (-4q)/(3+4m)

La corda CD ha punto medio in N

 x_N = (x_C+x_D)/(2) ; xN = (4q(4+4m-3+4m))/(2(9-16m^2)) ; x_N = (16mq)/(9-16m^2) ; y_N = mx+q

N coincide con M e la proprietà è verificata.
Ringraziano: Omega, Pi Greco, LittleMar, Panzerotta
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Os