Proprietà iperbole e secanti

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Proprietà iperbole e secanti #31342

avt
Panzerotta
Punto
Non riesco a capire come svolgere la dimostrazione di una proprietà dell'iperbole e delle secanti, potreste aiutarmi?

Considerata l'iperbole di equazione \frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1, verifica che qualunque retta secante intercetta sull'iperbole stessa e sui suoi asintoti due segmenti che hanno lo stesso punto medio.

Grazie
 
 

Proprietà iperbole e secanti #31400

avt
Danni
Sfera
Hello!

Risulta

\\ a^2 = 16 \Leftrightarrow a = 4\\ \\ b^2 = 9 \Leftrightarrow b = 3

Gli asintoti dell'iperbole (click per le formule) hanno equazione

y = \pm\frac{b}{a}x

quindi

y = \pm\frac{3}{4}x

Se la retta generica deve essere secante, dobbiamo imporre

m < -\frac{3}{4} \cup m > \frac{3}{4} }{}

Intersechiamo ora l'iperbole con la retta generica di equazione

y = mx + q

mediante il sistema

\begin{cases} 9x^2 - 16y^2 = 144 \\ y = mx + q \end{cases}

ottenendo la risultante

9x^2 - 16(mx + q)^2 - 144 = 0

ovvero

(9 - 16m^2)x^2 - 32 mqx - 16(q^2 + 9) = 0

Perché la retta sia secante dobbiamo imporre

\\ \frac{\Delta}{4} > 0\\ \\ \\ \frac{\Delta}{4} = 256m^2q^2 + 16(9 - 16m^2)(q^2 + 9) = 144(q^2 + 9 - 16m^2)\\ \\ \\ \frac{\Delta}{4} =  (12\sqrt{q^2 + 9 - 16m^2})^2 > 0

verificata per

\\ q < - \sqrt{16m^2 - 9} \cup q > \sqrt{16m^2 - 9} \\ \\ \\ m < - \frac{3}{4} \cup m > \frac{3}{4}

(avevamo già visto quest'ultima condizione).

Diciamo A e B i punti di intersezione dell'iperbole con la retta.

x_{A,B} = \frac{16mq \pm 12\sqrt{q^2 + 9 - 16m^2)}}{9 - 16m^2}

L'ascissa del punto medio M di AB è data dalla semisomma delle ascisse di A e di B:

\\ x_M = \frac{{16mq + 12 \sqrt{\frac{\Delta}{4}} + 16mq - 12\sqrt{\frac{\Delta}{4}}}}{2(9 - 16m^2)}\\ \\ \\ x_M = \frac{16mq}{9 - 6m^2}\\ \\ \\ y_M = mx + q

Intersechiamo la retta con un asintoto:

\begin{cases}y = mx + q \\y = \frac{3}{4}x \end{cases}

La risolvente dà

mx_C + q = \frac{3}{4}x

da cui

x_C = \frac{4q}{3 - 4m}

Intersechiamo la retta con l'altro asintoto

\begin{cases}y = mx + q \\y = - \frac{3}{4}x \end{cases}

ed otteniamo la risolvente

mx_D + q = - 4q

da cui

x_D = \frac{-4q}{3 + 4m}

La corda CD ha punto medio in N

\\ x_N = \frac{x_C + x_D}{2}\\ \\ \\ xN = \frac{4q(4 + 4m - 3 + 4m)}{2(9 - 16m^2)}\\ \\ \\ x_N = \frac{16mq}{9 - 16m^2}\\ \\ \\ y_N = mx + q

N coincide con M e la proprietà è verificata.
Ringraziano: Omega, Pi Greco, LittleMar, Panzerotta
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Os