Discussione problema geometrico sulla semicirconferenza

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Discussione problema geometrico sulla semicirconferenza #31329

avt
drago95
Cerchio
Ciao a tutti!
Sono in difficoltà con la discussione di un problema geometrico che riguarda la semicirconferenza...Eccolo:

la semicirconferenza di diametro AB=4a ha come punto C.
Il prolungamento della corda AC incontra in D la tangente in B alla semicirconferenza.
Considerati un punto P dell'arco CB e la sua proiezione H su DB, studia
y=AP^2 - PD^2 + 2AB\cdot PH

in funzione di PH. (per il grafico poni a=1).

Allora ho fatto bene il disegno.
So che il diametro è 4a e il raggio quindi è 2a.
Dopodiché ho calcolato la corda AC che misura 2\sqrt{2}a.

Poi però mi sono fermato perché non so come andare avanti...

Nell'attesa di una vostra risposta, vi ringrazio anticipatamente..
 
 

Discussione problema geometrico sulla semicirconferenza #31346

avt
Danni
Sfera
Hello emt

Benissimo per il disegno.
Da come hai calcolato la misura della corda AC, C è punto MEDIO della semicirconferenza emt

Da P portiamo il segmento di perpendicolare PK al diametro AB
Il triangolo APB è retttangolo in P perché inscritto nella semicirconferenza.
Diciamo O il centro della semicirconferenza.

Indichiamo \overline{KB} = x

e notiamo che, essendo PH perpendicolare a DB, risulta

\overline{KB} = \overline{PH} = x

Diamo le limitazioni all'incognita. Poiché P si muove da B a C, il segmento KB sul diametro varia da 0 (se P coincide con B) al segmento OB = 2a (se P coincide con C)

0 \leq x \leq 2a

\overline{AK} = 4a - x

Per il primo teorema di Euclide:

\overline{AP^2} = \overline{AB} \cdot \overline{AK}= 4a(4a - x)

Per il secondo teorema di Euclide:

\overline{PK} = \sqrt{\overline{AK}\cdot \overline{KB}} = \sqrt{x(4a - x)}

Nel triangolo rettangolo isoscele ADB risulta:

\overline{DB} = \overline{AB} = 4a

Nel triangolo rettangolo PHD:

\overline{PH} = x

\overline{DH} = \overline{DB} - \overline{HB} = \overline{DB} - \overline{PK}

\overline{DH} = 4a - \sqrt{x(4a - x)}

f(x) = 4a(4a - x) - 16a^2 - 4ax + 8a\sqrt{x(4a - x)} + 8ax}

f(x) = 16a^2 - 4ax - 16a^2 - 4ax + 8a\sqrt{x(4a - x)} + 8ax}

f(x) = 8a\sqrt{x(4a - x)}

Con

a = 1\;; 0 \leq x \leq 2\;;y >0

y = 8\sqrt{x(4 - x)}

eleviamo al quadrato:

y^2 = 64(4x - x^2)

64x^2 + y^2 - 256x = 0

che è l'equazione di un'ellisse traslata. Trasliamo con il metodo del completamento del quadrato:

64(x^2 - 4x) + y^2 = 0

64(x^2 - 4x + 4) + y^2 - 256 = 0

(perché ho aggiunto 64*4 = 256)

64(x - 2)^2 + y^2 = 256

Dividiamo per 256:

\frac{(x - 2)^2}{4}+ \frac{y^2}{256} = 1

a^2 = 4 \Leftrightarrow a = 2

b^2 = 256 \Rightarrow b = 16

Per le limitazioni l'arco di ellisse considerato va da x = 0 a x = 2
Tale arco è il quarto di ellisse da x = 0 a x = 2 situato nel primo quadrante.

Io speriamo che me la sono cavata emt perché era un poco tosto.

emt
Ringraziano: Omega, Pi Greco, drago95, CarFaby
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Os