Discussione problema geometrico su triangolo rettangolo

Sono in difficoltà con la discussione di un problema geometrico su un triangolo rettangolo. Eccolo:

è dato il triangolo rettangolo ABC, di ipotenusa BC e con H proiezione di A su BC. Considera un punto P su HB e la sua proiezione D su AB. Sapendo che e , esprimi



in funzione di PB e rappresenta la funzione ottenuta (per il grafico poni ).


Allora io ho eseguito delle gran proporzioni, non so se è giusto. Però alla fine non ottengo il risultato del libro. Il libro dà come risultato questo:



Nell'attesa di una risposta vi ringrazio anticipatamente e vi saluto.

Ciao Drago95,

Consideriamo la figura e disegniamo il triangolo rettangolo



Poniamo

Calcoliamo DB in funzione di PB osservando che il triangolo ABC è simile al triangolo BPD (vedi i criteri di similitudine). Per cui vale:



Inoltre sfruttando la similitudine tra i triangoli ABH e BPD otteniamo le seguenti proporzioni:



Ora AH= 8a, AC= 10 a da cui segue che:



Pertanto:



Calcoliamo ora PC:



Ma BC è l'ipotenusa del triangolo ABC, dunque per il teorema di Pitagora:



Osserva inoltre che nei triangoli rettangoli vale la relazione:



Da cui:



Sostituiamo nell'equazione data dal teorema di Pitagora:



Eleviamo al quadrato membro a membro:



Da cui



Da cui



quindi



Dunque:



Sostituiamo nella funzione:





per a=1 si ha che:



Fammi sapere se ti torna tutto..

Ciao Drago!

Allora, il triangolo rettangolo AHC è il più facile da studiare perché le misure dei suoi lati sono prive di frazioni. I lati di tale triangolo misurano



La terna pitagorica quindi è la classica



Di conseguenza



Calcoliamo con il secondo teorema di Euclide:




Ora diciamo



Poiché P su muove tra su BH tra B e H, le limitazioni per l'incognita sono



Imponiamo a = 1



Il triangolo rettangolo BDP è simile a tutti gli altri triangoli rettangoli. Infatti tutti questi triangoli hanno gli angoli ordinatamente congruenti.
Considera i due triangoli rettangoli simili BDP e AHB.



da cui



Quindi



ovvero



con

Danni, la tua soluzione è davvero elegante.

Sei proprio un volpone!

Grazie Ifrit

Il volponismo dipende dall'esperienza didattica che a sua volta dipende dall'età (purtroppo...)

Non sai quanto mi piacerebbe essere un po' meno volpone!