Discussione problema geometrico su triangolo rettangolo

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Discussione problema geometrico su triangolo rettangolo #31239

avt
drago95
Cerchio
Sono in difficoltà con la discussione di un problema geometrico su un triangolo rettangolo. Eccolo:

è dato il triangolo rettangolo ABC, di ipotenusa BC e con H proiezione di A su BC. Considera un punto P su HB e la sua proiezione D su AB. Sapendo che AC = 10a e AH = 8a, esprimi

y= \frac{PB}{3PC+5DB}

in funzione di PB e rappresenta la funzione ottenuta (per il grafico poni a=1).


Allora io ho eseguito delle gran proporzioni, non so se è giusto. Però alla fine non ottengo il risultato del libro. Il libro dà come risultato questo:

y=\frac{x}{50+x}\ \ \ \ \mbox{ con } 0\leq x \leq \frac{32}{3}

Nell'attesa di una risposta vi ringrazio anticipatamente e vi saluto.
 
 

Discussione problema geometrico su triangolo rettangolo #31259

avt
Ifrit
Amministratore
Ciao Drago95,

Consideriamo la figura e disegniamo il triangolo rettangolo

triangolorettangolo


Poniamo PB=x

Calcoliamo DB in funzione di PB osservando che il triangolo ABC è simile al triangolo BPD (vedi i criteri di similitudine). Per cui vale:

PB: BD= BC: AB

Inoltre sfruttando la similitudine tra i triangoli ABH e BPD otteniamo le seguenti proporzioni:

BC:AB= AC:AH

Ora AH= 8a, AC= 10 a da cui segue che:

AC:AH= \frac{10a}{8a}= \frac{5}{4}

Pertanto:

PB: BD= 5:4\implies BD= \frac{4}{5}PB= \frac{4}{5}x

Calcoliamo ora PC:

PC= BC-x

Ma BC è l'ipotenusa del triangolo ABC, dunque per il teorema di Pitagora:

BC= \sqrt{AB^2+AC^2}

Osserva inoltre che nei triangoli rettangoli vale la relazione:

BC\cdot AH= AB\cdot AC

Da cui:

BC= \frac{AB\cdot AC}{AH}= \frac{10a}{8 a}AB= \frac{5}{4}AB

Sostituiamo nell'equazione data dal teorema di Pitagora:

\frac{5}{4}AB= \sqrt{AB^2+AC^2}

Eleviamo al quadrato membro a membro:

\frac{25}{16}AB^2= AB^2+AC^2

Da cui

\left(\frac{25}{16}-1\right)AB^2= AC^2

Da cui

\frac{9}{16}AB^2= 100 a^2

quindi

AB= \frac{40}{3}a\implies BC= \frac{50}{3}a

Dunque:

PC= \frac{50}{3}a-PB= \frac{50}{3}a-x

Sostituiamo nella funzione:

y= \frac{PB}{3PC+5DB}= \frac{x}{3\left(\frac{50}{3}a-x\right)+5\cdot\frac{4}{5}x}=

= \frac{x}{50a-3x+4x}= \frac{x}{50a-x}

per a=1 si ha che:

y= \frac{x}{50-x}

Fammi sapere se ti torna tutto..
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Danni, drago95, CarFaby

Discussione problema geometrico su triangolo rettangolo #31264

avt
Danni
Sfera
Ciao Drago!

Allora, il triangolo rettangolo AHC è il più facile da studiare perché le misure dei suoi lati sono prive di frazioni. I lati di tale triangolo misurano

\\ \overline{AC} = 10a\\ \\ \overline{AH}= 8a\\ \\ \overline{HC} = 6a

La terna pitagorica quindi è la classica

3;4;5

Di conseguenza

\\ \overline{BC} = \frac{50}{3}a\\ \\ \\ \overline{AB} = \frac{40}{3}a

Calcoliamo con il secondo teorema di Euclide:

\overline{BH} = \frac{\overline{AH^2}}{\overline{HC}} = \frac{32}{3}a


Ora diciamo

\overline{PB} = x

Poiché P su muove tra su BH tra B e H, le limitazioni per l'incognita sono

0 \leq x \leq \frac{32}{3}a

Imponiamo a = 1

\overline{PC} = \overline{BC} - \overline{BP} = \frac{50}{3} - x = \frac{50 - 3x}{3}

Il triangolo rettangolo BDP è simile a tutti gli altri triangoli rettangoli. Infatti tutti questi triangoli hanno gli angoli ordinatamente congruenti.
Considera i due triangoli rettangoli simili BDP e AHB.

\overline{BP} : \overline{AB} = \overline{DB} : \overline{BH}

da cui

\overline{DB} = \frac{4}{5}x

Quindi

y = \frac{x}{50 - 3x + 4x}

ovvero

y = \frac{x}{50 + x}

con

a = 1 \;\;; 0 \leq x \leq \frac{32}{3}
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Ifrit, drago95, CarFaby

Discussione problema geometrico su triangolo rettangolo #31269

avt
Ifrit
Amministratore
Danni, la tua soluzione è davvero elegante.

Sei proprio un volpone! emt
Ringraziano: Omega, Danni

Discussione problema geometrico su triangolo rettangolo #31275

avt
Danni
Sfera
Grazie Ifrit emt

Il volponismo dipende dall'esperienza didattica che a sua volta dipende dall'età (purtroppo...)

Non sai quanto mi piacerebbe essere un po' meno volpone!
Ringraziano: Ifrit
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Os