Dimostrazione proprietà dell'iperbole

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Dimostrazione proprietà dell'iperbole #31031

avt
Panzerotta
Punto
Potreste aiutarmi a svolgere questo problema? Riguarda la dimostrazione di una proprietà dell'iperbole.

Sia P un punto dell'iperbole di equazione \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 e siano r e s le rette passanti per i fuochi e per il punto P.

Dimostra che anche per l'iperbole vale una proprietà analoga a quella dell'ellisse e cioè che la retta tangente all'iperbole in P è una delle bisettrici degli angoli formati da r e s; di conseguenza la normale in P è la bisettrice della rimanente coppia di angoli.

Grazie in anticipo!
 
 

Dimostrazione proprietà dell'iperbole #31241

avt
Danni
Sfera
Ciao emt

È un problemino, quello dell'ellisse, che richiederebbe l'aiuto del teorema di Erone (da non confondere con la formula di Erone) ma può essere dimostrato in modo più semplice.

La dimostrazione per l'iperbole è del tutto analoga.

Vogliamo dimostrare che la tangente (t) e la normale (n) all'iperbole in un suo punto P sono le bisettrici degli angoli formati dalle rette che congiungono P ai fuochi F' ed F dell'iperbole.

Dimostriamo il teorema opposto: tali bisettrici sono la tangente e la normale all'iperbole in P.

Consideriamo per ora solo la retta (t)
Per dimostrare che (t) è tangente all'iperbole in P è sufficiente provare che un qualsiasi altro punto Q (appartenente a (t) e non coincidente con P) non appartiene all'iperbole.

Fatta la costruzione, individuiamo su (t) un punto Q distinto da P e sia M il simmetrico di F rispetto a (t)
Poiché per ipotesi (t) è bisettrice dell'angolo F'PF, la retta (t) è l'asse del segmento FM e risulta

\overline{QF} = \overline{QM}

\overline{PF} = \overline{PM}

Per ipotesi P appartiene all'iperbole, quindi è

|\overline{PF'}-\overline{PF}| = 2a

Se Q appartenente a (t) e distinto da P appartiene all'iperbole, deve risultare

|\overline{F'Q} - \overline{QF}| = 2a

da cui

|\overline{F'Q} - \overline{QF}| = |\overline{F'P} - \overline{PF}|}

ovvero

|\overline{F'Q} - \overline{QM}| = |\overline{F'P} - \overline{PM}|} = \overline{F'M}

il che è assurdo poiché nel triangolo F'QM la differenza delle misure di due lati risulta congruente alla misura del terzo lato.

Si deduce quindi che Q non appartiene all'iperbole e dunque la bisettrice dell'angolo considerato non è secante ma tangente all'ellisse.

La stessa dimostrazione per (n) che è bisettrice del supplementare dell'angolo considerato.

Un esempio numerico: data l'iperbole di equazione

\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{9} = 1

ed il suo punto di coordinate

P\left(\frac{20}{3};4\right)

verificare che la tangente e la normale in P alla curva sono le bisettrici degli angoli formati dalle rette che congiungono il punto con i fuochi

F(5, 0)\;\; F'(-5, 0).

Equazione della retta PF

12x - 5y - 60 = 0

Equazione della retta PF'

12x - 35y + 60 = 0

Le equazioni delle bisettrici degli angoli formati dalle due rette sono date dalla formula della distanza punto-retta:

\frac{|12x - 5y - 60|}{\sqrt{144 + 25}} = \frac{|12x - 35y + 60|}{\sqrt{144 + 1225}}

ovvero

37(12x - 5y - 60) = \pm 13(12x - 35y + 60)

ossia

a)\;\;15x - 16y - 36 = 0

b)\;\;48x + 45y - 500 = 0

Con la formula di sdoppiamento determiniamo l'equazione della tangente all'iperbole in P:

\frac{20}{3\cdot 16}x - \frac{4}{9}y = 1

ovvero

15x - 16y - 36 = 0

La normale ha coefficiente angolare reciproco ed opposto e la sua equazione è

16(x - \frac{20}{3}) + 15(y - 4) = 0

ovvero

48x + 45y - 500 = 0

Le due equazioni coincidono con a) e b) e la proprietà è verificata.

emt
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Ifrit, Panzerotta
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Os