Dimostrazione proprietà dell'iperbole
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Dimostrazione proprietà dell'iperbole #31031
 Panzerotta Punto | Potreste aiutarmi a svolgere questo problema? Riguarda la dimostrazione di una proprietà dell'iperbole. Sia  un punto dell'iperbole di equazione  e siano  e  le rette passanti per i fuochi e per il punto .Dimostra che anche per l'iperbole vale una proprietà analoga a quella dell'ellisse e cioè che la retta tangente all'iperbole in è una delle bisettrici degli angoli formati da e ; di conseguenza la normale in è la bisettrice della rimanente coppia di angoli.Grazie in anticipo! |
Dimostrazione proprietà dell'iperbole #31241
Danni Sfera | Ciao  È un problemino, quello dell'ellisse, che richiederebbe l'aiuto del teorema di Erone (da non confondere con la formula di Erone) ma può essere dimostrato in modo più semplice. La dimostrazione per l'iperbole è del tutto analoga. Vogliamo dimostrare che la tangente (t) e la normale (n) all'iperbole in un suo punto P sono le bisettrici degli angoli formati dalle rette che congiungono P ai fuochi F' ed F dell'iperbole. Dimostriamo il teorema opposto: tali bisettrici sono la tangente e la normale all'iperbole in P. Consideriamo per ora solo la retta (t) Per dimostrare che (t) è tangente all'iperbole in P è sufficiente provare che un qualsiasi altro punto Q (appartenente a (t) e non coincidente con P) non appartiene all'iperbole. Fatta la costruzione, individuiamo su (t) un punto Q distinto da P e sia M il simmetrico di F rispetto a (t) Poiché per ipotesi (t) è bisettrice dell'angolo F'PF, la retta (t) è l'asse del segmento FM e risulta   Per ipotesi P appartiene all'iperbole, quindi è  Se Q appartenente a (t) e distinto da P appartiene all'iperbole, deve risultare  da cui  ovvero  il che è assurdo poiché nel triangolo F'QM la differenza delle misure di due lati risulta congruente alla misura del terzo lato. Si deduce quindi che Q non appartiene all'iperbole e dunque la bisettrice dell'angolo considerato non è secante ma tangente all'ellisse. La stessa dimostrazione per (n) che è bisettrice del supplementare dell'angolo considerato. Un esempio numerico: data l'iperbole di equazione  ed il suo punto di coordinate  verificare che la tangente e la normale in P alla curva sono le bisettrici degli angoli formati dalle rette che congiungono il punto con i fuochi  .Equazione della retta PF  Equazione della retta PF'  Le equazioni delle bisettrici degli angoli formati dalle due rette sono date dalla formula della distanza punto-retta:  ovvero  ossia   Con la formula di sdoppiamento determiniamo l'equazione della tangente all'iperbole in P:  ovvero  La normale ha coefficiente angolare reciproco ed opposto e la sua equazione è  ovvero  Le due equazioni coincidono con a) e b) e la proprietà è verificata.  |
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