Problema geometrico su ellissi e funzioni

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Problema geometrico su ellissi e funzioni #30959

drago95

Cerchio

Ciao, ho un problema sull'ellisse e sulle funzioni che ho cercato di risolvere e vorrei il vostro aiuto.

Data l'ellisse con l'asse maggiore sull'asse x, di centro

, passante per l'origine e con eccentricità $e=\frac{\sqrt{7}}{4}$ , considera un punto P nell'arco di ellisse che si trova nel primo quadrante.

a) Esprimi

$s=PC^2 + \frac{9}{16}PH^2$

con H proiezione di P sull'asse y, in funzione dell'ascissa di P. Traccia il grafico della funzione ottenuta.

b) Per quale valore dell'ascissa di P viene assunto da s il minimo valore?

c) Quanto vale s quando P si trova nei vertici dell'ellisse?

Allora Io sono riuscito a trovare l'equazione dell'ellisse. So che ha centro C(4;0), che passa per l'origine e che ha eccentricità

$e=\frac{\sqrt{7}}{4}$

L'ellisse ha asse maggiore parallelo all'asse x, quindi

. Sono andato un po' a sostituire ed ho ottenuto l'equazione dell'ellisse:

$\frac{(x-4)^2}{16} + \frac{y^2}{9} =1$

Riguardo agli altri punti invece la vedo un po' grigia. Ho provato a fare uno schizzo: ho l'ellisse che è tangente all'asse y e che si divide a metà con l'asse x tra il primo e il quarto quadrante. Però non sono riuscito a capire come trovare PC e PH.

I risultati del mio libro sono:

$\\ a)\ s=x^2-\frac{7}{2}x+16\ ,\ 0\leq x\leq 8\\ \\ b)\ x=\frac{7}{4}\\ \\ c)\ 16,\ 18,\ 52$

Nell'attesa di una vostra risposta vi ringrazio tantissimo anticipatamente.

Re: Problema geometrico su ellissi e funzioni #30977

Danni

Sfera

Hello!

Allora, non fare schizzi ma disegni accurati. Un buon disegno aiuta moltissimo.

Il punto P sta nel primo quadrante. Le sue coordinate sono

$\\ P(x;y)\\ \\ x, y \geq 0$

Ricaviamo y quadro in funzione di x dall'equazione dell'ellisse:

$\\ y^2 = \frac{144 - 9(x - 4)^2}{16}\\ \\ \\ PC^2 = (x_P - x_C)^2 + (y_P - y_C)^2 = (x - 4)^2 + y^2$

Il segmento PH non è altro che l'ascissa di P, quindi sostituisci nella relazione:

$s = (x - 4)^2 + y^2 + \frac{9}{16}x^2$

ovvero

$\\ s = \frac{16(x - 4)^2 + 144 - 9(x - 4)^2 + 9x^2}{16}\\ \\ \\ s = \frac{7(x - 4)^2 + 9x^2 + 144}{16}\\ \\ \\ s = \frac{16x^2 - 56x + 256}{16}\\ \\ \\ s = x^2 - \frac{7}{2}x + 16$

Se diciamo

il secondo vertice dell'ellisse sull'asse x, le limitazioni per x sono

$0 \leq x \leq 8$

Quindi la funzione esprime analiticamente l'arco di una parabola con asse parallelo all'asse delle y e concavità volta verso l'alto

Non so se hai visto l'ultima risposta che ti ho inviato.
Qui è la stessa cosa. Poiché non conosci ancora il calcolo delle derivate, ricorda che in una parabola concava verso l'alto il vertice è punto di minimo per la parabola, mentre è il suo punto di massimo se la concavità è volta verso il basso.

Il minimo della somma richiesto corrisponde quindi all'ascissa del vertice della parabola che è in questo caso ascissa di punto di minimo:

$x_V = - \frac {b}{2a} = \frac{\frac{7}{2}}{2} = \frac{7}{4}$

Ora vediamo i valori della somma secondo P coincidente con i vertici nel 1° quadrante che sono

$\\ O(0;0)\;\; P(4;3)\;\; P'(8;0)\\ \\ x_P = 0 \Rightarrow s = 16\\ \\ x_P = 4 \Rightarrow s = 16 - 14 + 16 = 18\\ \\ x_P = 8 \Rightarrow s = 64 - 28 + 16 = 52$

Ringraziano: Omega, Pi Greco, drago95

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