Problema geometrico su ellissi e funzioni

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Problema geometrico su ellissi e funzioni #30959

avt
drago95
Cerchio
Ciao, ho un problema sull'ellisse e sulle funzioni che ho cercato di risolvere e vorrei il vostro aiuto.

Data l'ellisse con l'asse maggiore sull'asse x, di centro C(4;0), passante per l'origine e con eccentricità e = (√(7))/(4), considera un punto P nell'arco di ellisse che si trova nel primo quadrante.

a) Esprimi

s = PC^2+(9)/(16)PH^2

con H proiezione di P sull'asse y, in funzione dell'ascissa di P. Traccia il grafico della funzione ottenuta.

b) Per quale valore dell'ascissa di P viene assunto da s il minimo valore?

c) Quanto vale s quando P si trova nei vertici dell'ellisse?


Allora Io sono riuscito a trovare l'equazione dell'ellisse. So che ha centro C(4;0), che passa per l'origine e che ha eccentricità

e = (√(7))/(4)

L'ellisse ha asse maggiore parallelo all'asse x, quindi b < a. Sono andato un po' a sostituire ed ho ottenuto l'equazione dell'ellisse:

((x-4)^2)/(16)+(y^2)/(9) = 1

Riguardo agli altri punti invece la vedo un po' grigia. Ho provato a fare uno schizzo: ho l'ellisse che è tangente all'asse y e che si divide a metà con l'asse x tra il primo e il quarto quadrante. Però non sono riuscito a capire come trovare PC e PH.

I risultati del mio libro sono:

a) s = x^2-(7)/(2)x+16 , 0 ≤ x ≤ 8 ; b) x = (7)/(4) ; c) 16, 18, 52

Nell'attesa di una vostra risposta vi ringrazio tantissimo anticipatamente.
 
 

Re: Problema geometrico su ellissi e funzioni #30977

avt
Danni
Sfera
Hello!

Allora, non fare schizzi ma disegni accurati. Un buon disegno aiuta moltissimo.

Il punto P sta nel primo quadrante. Le sue coordinate sono

P(x;y) ; x, y ≥ 0

Ricaviamo y quadro in funzione di x dall'equazione dell'ellisse:

y^2 = (144-9(x-4)^2)/(16) ; PC^2 = (x_P-x_C)^2+(y_P-y_C)^2 = (x-4)^2+y^2

Il segmento PH non è altro che l'ascissa di P, quindi sostituisci nella relazione:

s = (x-4)^2+y^2+(9)/(16)x^2

ovvero

s = (16(x-4)^2+144-9(x-4)^2+9x^2)/(16) ; s = (7(x-4)^2+9x^2+144)/(16) ; s = (16x^2-56x+256)/(16) ; s = x^2-(7)/(2)x+16

Se diciamo P'(8;0) il secondo vertice dell'ellisse sull'asse x, le limitazioni per x sono

0 ≤ x ≤ 8

Quindi la funzione esprime analiticamente l'arco di una parabola con asse parallelo all'asse delle y e concavità volta verso l'alto

Non so se hai visto l'ultima risposta che ti ho inviato.
Qui è la stessa cosa. Poiché non conosci ancora il calcolo delle derivate, ricorda che in una parabola concava verso l'alto il vertice è punto di minimo per la parabola, mentre è il suo punto di massimo se la concavità è volta verso il basso.

Il minimo della somma richiesto corrisponde quindi all'ascissa del vertice della parabola che è in questo caso ascissa di punto di minimo:

x_V = - frac b2a = ((7)/(2))/(2) = (7)/(4)

Ora vediamo i valori della somma secondo P coincidente con i vertici nel 1° quadrante che sono

O(0;0) ; ; P(4;3) ; ; P'(8;0) ; x_P = 0 ⇒ s = 16 ; x_P = 4 ⇒ s = 16-14+16 = 18 ; x_P = 8 ⇒ s = 64-28+16 = 52
Ringraziano: Omega, Pi Greco, drago95
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Os