Problema sull'equazione della parabola

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Problema sull'equazione della parabola #30533

avt
depe_
Cerchio
Ecco, questo è l'ultimo problema sull'equazione della parabola, che non riesco a fare: per il resto mi è venuto tutto.

Scrivere l'equazione della parabola con asse parallelo all'asse y, di vertice V(4,9) e passante per il punto (1,0). La retta y=x+3 incontra la parabola nei punti A e B. Determinare:

- la misura del segmento AB

- l'area del trapezio rettangolo ABCD dove C e D sono le proiezioni, rispettivamente, di B e A sull'asse x.

I risultati del libro sono: 3\sqrt{2},\ \frac{39}{2}. Grazie a tutti!
 
 

Problema sull'equazione della parabola #30574

avt
Ifrit
Amministratore
Eccomi depe_ emt Iniziamo subito.

Abbiamo il vertice della parabola:

V(4, 9)

L'equazione della parabola di cui è noto il vertice è:

y-y_V= m (x-x_V)^2

con m costante da determinare.

Sostituiamo i valori:

y-9= m(x-4)^2

Impostiamo il passaggio per il punto (1,0) grazie al quale determiniamo m:

-9= 9 m\implies m=-1

L'equazione della parabola è quindi:

y-9=-(x-4)^2\iff y=-x^2+8x-7

Una volta determinata la parabola, calcoliamo i punti di intersezione A e B e per farlo impostiamo il sistema tra l'equazione della parabola con quella della retta:

\begin{cases}y=-x^2+8x-7\\ y=x+3\end{cases}

Da cui otteniamo la risolvente:

x+3= -x^2+8x-7\iff x^2-7x+10=0

Le soluzioni di questa equazione sono le ascisse dei punti di intersezione:

x_1= 2\vee x_2= 5

Le ordinate si ottengono sostituendo i valori ottenuti nella equazione y=x+3

Otteniamo quindi che:

y_1= 2+3= 5

y_2= 5+3= 8

A=(2,5)

B=(5, 8)

Calcoliamo la distanza tra i punti A e B

d_{A B}=\sqrt{(2-5)^2+(5-8)^2}= \sqrt{9+9}= 3\sqrt{2}

La proiezione dei punti A e B sono rispettivamente:

A_1= (2,0)

B_1= (5,0)

La distanza tra i punti A_1, B_1 è:

h=d_{A_1, B_1}= |5-2|=3 e rappresenta altezza del l'trapezio rettangolo,

La base minore è data dalla distanza tra A e A_1

b= d_{A, A_1}= |5-0|=5

mentre la base maggiore è:

B= d_{B, B_1}= |8-0|=8

Utilizzando la formula del calcolo dell'area del trapezio:

\mbox{Area}= \frac{(b+B)\times h}{2}=\frac{(5+8)\times 3}{2}= \frac{39}{2}
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Danni
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Os