Problema ellisse e corde

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Problema ellisse e corde #30531

avt
depe_
Cerchio
Ciao a tutti! Sono ancora qui perchè sto impazzendo a risolvere questo problema con ellissi e corde.

Determinare l'equazione delle rette passanti per l'origine degli assi sulle quali l'ellisse di equazione: 2x^2+3y^2=14 stacca corde di lunghezza 2\sqrt{5}. Determinare quindi l'equazione della circonferenza passante per i punti di intersezione dell'ellisse con le rette trovate. [y=+-2x x^2+y^2=5]

Non ho la più pallida idea di cosa fare.. emt
 
 

Re: Problema ellisse e corde #30565

avt
Ifrit
Amministratore
Ciao depe_ emt tieni a portata di mano il formulario sull'ellisse e quello sulla circonferenza.


Vediamo prima di estrapolare le informazioni dal testo. Abbiamo un fascio di rette passanti per l'origine, pertanto essi saranno della forma:

f:y=m x

inoltre abbiamo l'equazione dell'ellisse

\Gamma:2x^2+3y^2=14

Determiniamo i punti di intersezione tra i due:

\begin{cases}2x^2+3y^2=14\\ y=mx\end{cases}

L'equazione risolvente del sistema è:

(3m^2+2)x^2= 14

Da cui otteniamo che x è dato da

x= \pm \sqrt{\frac{14}{2+3m^2}}\quad m\in\mathbb{R}

Sono le ascisse dei punti di intersezione, le ordinate si ottengono sostituendo i valori di x nella equazione y=mx. Di conseguenza abbiamo i punti di intersezione:

A= \left(-\sqrt{\frac{14}{2+3m^2}}, -m\sqrt{\frac{14}{2+3m^2}}\right)

B=\left(\sqrt{\frac{14}{2+3m^2}}, m\sqrt{\frac{14}{2+3m^2}}\right)

Calcoliamo la distanza tra i punti A e B:

d_{AB}=\sqrt{(x_A-x_B )^2+ (y_A-y_B )^2}=

= \sqrt{\frac{56(1+m^2)}{2+3m^2}}

Imponiamo che la distanza sia uguale a 2\sqrt{5}

d_{AB}= 2\sqrt{5}\iff

\sqrt{\frac{56(1+m^2)}{2+3m^2}}=2\sqrt{5}

eleviamo al quadrato membro a membro:

\frac{56(1+m^2)}{2+3m^2}= 20

Da cui:

56(1+m^2)= 20 (2+3m^2)

Riduci in forma normale:

16-4m^2=0\iff m=\pm 2

Le equazioni delle rette sono:

y=-2x e y=2x

Grazie ad m otteniamo anche i punti di intersezione, basta sostituire in A e in B i due valori di m ottenuti:

A_1= (-1,-2) per m=2

A_2=(-1,2) per m=-2

B_1= (1,2) per m=2

B_2= (1,-2) per m=-2

Ora riusciresti a trovare la circonferenza? emt
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Danni

Re: Problema ellisse e corde #30628

avt
depe_
Cerchio
Allora l'ho fatto e capito fino a dove l'hai fatto tu... poi mi sono fatto il disegno in Geogebra per capire meglio, ma con i 4 punti di intersezione non saprei trovare la circonferenza....emt

Re: Problema ellisse e corde #30631

avt
Danni
Sfera
Ciao Depe emt

Individua i punti nel piano cartesiano.
Che cosa noti?
C'è una bella simmetria rispetto all'origine O che quindi è il centro della circonferenza.
I segmenti OA₁, OA₂, OB₁, OB₂ sono congruenti e corrispondono a quattro raggi.

Allora la tua circonferenza ha il centro nell'origine O(0;0) e raggio congruente alla misura di uno dei segmenti.
L'quazione generica di tale circonferenza è

x^2 + y^2 = r^2

Calcoliamo r^2

r^2 = \overline{(OB_1)^2}= xB_1^2 + yB_1^2 = 1 + 4 = 5

L'equazione è quindi

x^2 + y^2 = 5

emt
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Ifrit
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Os