Discussione di un problema geometrico

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Discussione di un problema geometrico #30455

avt
drago95
Cerchio
Ciao a tutti, ho un problema geometrico con le funzioni in cui non ci sto capendo un accidente, e devo effettuarne la discussione. Eccolo:

dato il triangolo isoscele ABC di altezza AH=2 e angolo di vertice BAC = 120°, traccia esternamente al triangolo la semicirconferenza di diametro AB e centro O.

Considera sulla semicirconferenza un punto P, traccia la sua proiezione M su AB e il prolungamento di PM fino a incontrare in Q il lato BC.

Esprimi in funzione di BM = x la somma

s=PM^2 + 3MQ^2 + BM^2

e rappresenta graficamente tale funzione.

---

Questo tipo di problema geometrico non l'ho mai riscontrato in vita mia. Ho provato a fare uno schizzo del triangolo, ma non ho ottenuto niente. Mi potete spiegare come riesco a rappresentare graficamente la funzione?

Nell'attesa di una vostra risposta, vi ringrazio anticipatamente.
 
 

Discussione di un problema geometrico #30491

avt
Danni
Sfera
Ciao Drago, vediamo di che si tratta.

ABC è un triangolo isoscele su BC, diviso dall'altezza AH in due triangoli rettangoli congruenti con ciascuno un angolo acuto ampio 60°.
I due triangoli sono quindi metà dello stesso triangolo equilatero.

Occupiamoci del triangolo rettangolo AHB che ha

\overline{AH} = 2

quindi, per le proprietà del triangolo particolare:

\overline{BA} = 4

\overline{BH} = 2\sqrt3

Fatta la costruzione, noti che i triangoli rettangoli BMQ e AHB sono simili per avere gli angoli ordinatamente congruenti (vedi criteri di similitudine). Imponi

\overline{MQ} = x

da cui

\overline{BQ} = 2x

\overline{BM} = x\sqrt3

Dobbiamo però dare delle limitazioni all'incognita. Poiché il punto P si muove sulla semicirconferenza da B ad A, il punto Q si muove da B ad H, quindi è

0 \leq 2x \leq 2\sqrt3 \Leftrightarrow 0 \leq x \leq \sqrt3

Il triangolo PBA è rettangolo in P perché inscritto in una semicirconferenza.

Per il secondo teorema di Euclide risulta

\overline{PM^2} = \overline{BM} \cdot \overline{MA} = x\sqrt3(4 - x\sqrt3)

Poi è

\overline{MQ^2} = x^2

\overline{BM^2} = 3x^2

Sostituisci nella relazione:

f(x) = 4x\sqrt3 - 3x^2 + 3x^2 + 3x^2

ed hai la funzione

f(x) = 3x^2 + 4x\sqrt3

con

0 \leq x \leq \sqrt3

che di sicuro sai rappresentare in grafico perché esprime analiticamente un arco di parabola con asse parallelo all'asse y e passante per l'origine.
Ringraziano: Omega, Pi Greco, drago95, CarFaby

Discussione di un problema geometrico #30541

avt
drago95
Cerchio
Ciao Danni, scusa se ti disturbo.
Ma le soluzioni del mio libro sono diverse dalle tue..
Allora ho provato a seguire il tuo ragionamento..
Ho impostato BM = x
MQ = x/ radice di 3
BQ = 2x/ radice di 3

E alla fine mi è venuta la funzione:
s= 4x+x^2
Come quella del libro..
Solamente che non mi viene la limitazione della x..
Il libro dice:
0 <o uguale x <o uguale 4.

Re: Discussione di un problema geometrico #30600

avt
Danni
Sfera
Ciao Drago, il risultato e le limitazioni dipendono dall'incognita scelta.
Solitamente in un triangolo rettangolo con angoli acuti di 30° e 60° si indica il cateto minore con x (in questo caso MQ) quindi ipotenusa BQ = 2x e cateto maggiore x√3 proprio per evitare frazioni.

Quindi vanno bene entrambe le soluzioni e se il tuo libro riporta quella, va benissimo.
L'importante è che alla fine si arrivi ad una parabola.
Per ovviare all'inconveniente delle soluzioni diverse e per altri motivi pratici (tipo evitare a noi la verifica) ti consiglio di accludere le soluzioni che hai tu.

Dato che l'incognita scelta è BM, ed M si muove tra B e A sul segmento BA, le limitazioni sono 0 ≤ x ≤ 4

emt
Ringraziano: Omega, Pi Greco, drago95
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Os