Problemi di Geometria Analitica con rette e triangoli

Ciao cari! Avrei bisogno d'aiuto per questi problemi di Geometria Analitica con rette e triangoli nel piano cartesiano. I due problemi di Geometria Analitica sono questi:

- trova le cordinate del punto P che appartiene alla retta che taglia gli assi cartesiani nei punti di cordinate (-1, 0) e (0, 2) in modo che il triangolo ABP sia isoscele di base AB, essendo A(1, -1) e B(5, 3).

- Calcola il perimetro e area del triangolo delimitato dagli assi cartesiani e dalla retta di equazione x + 2y - 8 = 0.

Non riesco proprio a capire il metodo da utilizzare! Per favore, potreste aiutarmi? Grazie

Prima di tutto bisogna determinare la retta passante per P1 di coordinate (x1, y1) e P2 di coordinate (x2, y2), con la formula per l'equazione di una retta passante per due punti.
Per determinarla si può procedere in tantissimi modi, quindi ne scelgo uno: determinare il coefficiente angolare m e poi scrivere la retta.
Il coefficiente angolare è definito come:



La retta generica passante per un punto Pg(xo, yo) con coefficiente angolare m è



Nel nostro caso per Pg possiamo prendere uno qualsiasi dei due punti sopra .. ad esempio P1, mentre m l'abbiamo già determinato in precedenza:



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A questo punto passiamo a determinare la posizione di P affinché il triangolo APB sia un triangolo isoscele.
Abbiamo già la base sarà quindi sufficiente trovare l'equazione dell'asse di questo segmento AB e trovare il punto di intersezione con la retta trovata sopra: questo perché in un triangolo isoscele il vertice appartiene all'asse della base!

La retta passante per AB ( non sto qui a calcolarla, tanto il procedimento è lo stesso ) è: .
A noi interessa quella perpendicolare passante per il punto medio di AB ( questa è la definizione di asse di un segmento ).
Presa la retta generica con coefficiente angolare opposto e reciproco ( - 1, dato che quello della retta sopra è 1 ):



Il punto medio AB che si determina facilmente:




A questo punto è chiaro che sostituendo ascissa e ordinata di M rispettivamente a xm e ym ci troviamo questa retta perpendicolare



Intersechiamo adesso le due rette



La soluzione è



Il punto è infatti P(2/3, 10/3). E il primo problema è risolto, se hai dubbi chiedi pure!

Il secondo problema è decisamente più semplice.
Pensaci: che triangolo si forma? Gli assi sono tra loro ortogonali quindi -> triangolo rettangolo!

Andiamo prima di tutto a determinarci i punti di intersezione tra la retta r e gli assi cartesiani ( prima l'asse delle x, poi quello delle y ):



La soluzione del sistema ( basta sostituire a y, 0! ) è:



Il punto è l'intersezione tra asse delle x e retta r; passiamo adesso all'asse delle y:



La soluzione del sistema ( basta sostituire a x, 0! ) è:



Il punto è l'intersezione tra asse delle y e retta r. A questo punto abbiamo i due cateti del triangolo rettangolo ( ecco perché la considerazione iniziale è importante ) quindi possiamo calcolarci l'area:



Per quanto riguarda il perimetro abbiamo già due lati, dobbiamo calcolarci il terzo con la distanza tra due punti ( in questo caso quelli di intersezione ):




Il perimetro è dunque

Ma questo è un doppione di una domanda risolta in "facci la tua domanda"!!...



...e non ci sono problemi, dal momento che

- mette in luce le indiscusse conoscenze del Frank;
- repetita iuvant.