Esercizio su iperboli e fasci di iperboli

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Esercizio su iperboli e fasci di iperboli #30146

avt
drago95
Cerchio
Ciao a tutti...Ho un problema su iperboli e fasci di iperboli che non riesco a capire, ecco il testo:

a) Considera il fascio di curve di equazione

y = \frac{3x+13-k}{(k+1)x+(k+11)}

e stabilisci per quali valori di k rappresenta delle iperboli.

b) Verifica che tutte le iperboli del fascio passano per due punti fissi A e B (x_A<x_B).

Allora per quanto riguarda il punto a) non mi sembra di aver avuto grossi problemi.

Ho individuato che il fascio è l'equazione di una funzione omografica.

y=\frac{ax+b}{cx+d}

Quindi, affinché sia una funzione omografica devo porre c\neq 0 e ad\neq bc.

Quindi ho trovato che k deve essere diverso da -1, da 4 e da 5.

Per quanto riguarda invece il punto b) non so come incominciare. Anche se provo a mettere a sistema le due generatrici non ottengo niente. Mi potete dare una mano?

Nell'attesa vi ringrazio anticipatamente e vi saluto.
 
 

Re: Esercizio su iperboli e fasci di iperboli #30183

avt
Ifrit
Amministratore
Il punto a) è corretto emt

Per il punto b) consiglio di risolvere l'equazione:

\frac{3x+13-k}{(k+1)x+(k+11)}=\frac{3+13-h}{(h+1)x+(h+11)}

Portando al primo membro il tutto e facendo i conti (terribili) otterrai qualcosa come:

-\frac{(h-k)(x+3)(3x+8)}{(11+h+x+h x)(11+k+x+kx)}=0

Da cui:

x+3=0\implies x=-3

8+3x=0\implies x=-\frac{8}{3}

Le ordinate dei punti sono rispettivamente:

y= \frac{1}{2}

e

y= \frac{3}{5}

Si ottengono inserendo nel fascio x= -3 e x= -\frac{8}{3}

Un metodo più semplice è fissare due valori di k, ad esempio k=0, k=1

Ottenendo quindi:

y= \frac{3x+13}{11+x} per k=0

y=\frac{3x+12}{12+2x} per k=1

Impostando il sistema:

\begin{cases}y= \frac{3x+13}{11+x}\\ y= \frac{3x+12}{12+2x}\end{cases}

la cui equazione risolvente è:

\frac{(3+x)(8+3x)}{2(6+x)(11+x)}=0

Le soluzioni sono ovviamente:

x=-3, x=-\frac{8}{3}

A questo punto sostituisci nel fascio i valori ottenuti:

\frac{4-k}{11+k-3-3k}=\frac{4-k}{2(4-k)}= \frac{1}{2} questo per x= -3

Per x=-8/3 invece:

\frac{5-k}{11+k-\frac{8(1+k)}{3}}=\frac{3}{5}

Dunque:

A= \left(-3, \frac{1}{2}\right)

mentre

B= \left(-\frac{8}{3},\frac{3}{5}\right)

Leggi il formulario sulla funzione omografica. emt
Ringraziano: Omega, Pi Greco, drago95
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Os