Esercizio su iperboli e fasci di iperboli

Ciao a tutti...Ho un problema su iperboli e fasci di iperboli che non riesco a capire, ecco il testo:

a) Considera il fascio di curve di equazione


e stabilisci per quali valori di k rappresenta delle iperboli.

b) Verifica che tutte le iperboli del fascio passano per due punti fissi A e B .

Allora per quanto riguarda il punto a) non mi sembra di aver avuto grossi problemi.

Ho individuato che il fascio è l'equazione di una funzione omografica.


Quindi, affinché sia una funzione omografica devo porre e .

Quindi ho trovato che k deve essere diverso da -1, da 4 e da 5.

Per quanto riguarda invece il punto b) non so come incominciare. Anche se provo a mettere a sistema le due generatrici non ottengo niente. Mi potete dare una mano?

Nell'attesa vi ringrazio anticipatamente e vi saluto.

Il punto a) è corretto

Per il punto b) consiglio di risolvere l'equazione:



Portando al primo membro il tutto e facendo i conti (terribili) otterrai qualcosa come:



Da cui:





Le ordinate dei punti sono rispettivamente:



e



Si ottengono inserendo nel fascio x= -3 e

Un metodo più semplice è fissare due valori di k, ad esempio k=0, k=1

Ottenendo quindi:

per

per

Impostando il sistema:



la cui equazione risolvente è:



Le soluzioni sono ovviamente:



A questo punto sostituisci nel fascio i valori ottenuti:

questo per x= -3

Per x=-8/3 invece:



Dunque:



mentre



Leggi il formulario sulla funzione omografica.