Fascio di parabole e circonferenze, esercizio

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Fascio di parabole e circonferenze, esercizio #30127

avt
drago95
Cerchio
Ciao a tutti, ho un problema su un fascio di parabole e circonferenze che non mi risulta, un esercizio di Geometria Analitica. Eccolo:

a) Considera il fascio di parabole di equazione

y=ax^2+10ax+3

indicando con A e B i suoi punti base.

b) Scrivi l'equazione della circonferenza avente un diametro di estremi A e B.

c) Determina l'equazione delle tangenti alla circonferenza nel suo punto d'intersezione con l'asse delle ascisse con ascissa minore e nel suo punto di ascissa -2 e ordinata negativa.

d) Calcola l'area della parte di piano individuata dalla circonferenza e dalle tangenti trovate.



Allora riguardo al punto a) non ho avuto problemi. Ho studiato il fascio e ho trovato come punti base A(-10;3) e B(0;3), quindi è un fascio di parabole secanti.

Anche riguardo al punto b) non ho avuto problemi. Ho trovato il punto medio del diametro AB che sarebbe il centro. Esso ha coordinate C(-5;3).

Poi ho calcolato il raggio AC = 5. Poi grazie alla formula:

(x-xc)^2 + (y-yc)^2 = r^2

Ho trovato l'equazione della circonferenza

x^2+y^2+10x-6y+9=0

Riguardo al punto c) invece c'è qualcosa che non mi risulta. Ho chiamato P il punto di intersezione tra la circonferenza e l'asse delle ascisse.
Con questa intersezione ho trovato due valori di x: x_1= -1,\ x_2 = -9.

Dato che bisogna prendere quello con ascissa minore, l'unico accettabile è x = -9. Quindi il punto P ha coordinate (-9;0).

A questo punto tramite la formula di sdoppiamento ho calcolato l'equazione della tangente.. solamente che non mi viene come quella del mio libro. La mia è:

y=-\frac{4}{3}x-12

Quella del libro è:

y=-\frac{4}{3}x-\frac{2}{3}.


Riguardo al punto d) mi potreste dire come faccio a trovare l'area compresa?

Nell'attesa vi ringrazio anticipatamente e vi saluto.
 
 

Fascio di parabole e circonferenze, esercizio #30164

avt
Danni
Sfera
Ciao Drago.
In linea generale posso consigliarti Derive. Anche se non è perfetto, per i grafici funziona abbastanza bene e impostando le equazioni della circonferenza e della tangente vedi subito quale delle due tangenti è esatta.
Quando non inviate le soluzioni, noi stessi utilizziamo questo metodo per verificare la correttezza delle risposte.
Ovviamente puoi sempre effettuare una verifica 'a mano' ma la cosa richiede più tempo.

In pochi secondi ho chiesto a Derive e mi ha risposto che l'equazione esatta della tangente è la tua emt

Ora devi determinare l'equazione della retta tangente passante per questo altro punto, diciamo Q

Q(-2;yQ)

4 + y^2 - 20 - 6y + 9 = 0 \Leftrightarrow y^2 - 6y - 7 = 0

(y + 1)(y - 7) = 0

Q ha ordinata negativa, quindi

Q(-2;-1)

Con la formula dello sdoppiamento o semplicemente notando che le due tangenti sono perpendicolari tra loro perché sono perpendicolari tra loro i raggi CP e CQ, ottieni

3x - 4y + 2 = 0

Interseca le due tangenti che hanno R come punto comune:

\begin{cases} 3x - 4y + 2 = 0 \\ 4x + 3y + 36 = 0 \end{cases}

R(-6;-4)

Il parallelogramma CPRQ è un quadrato.

L'area richiesta è data dalla differenza tra l'area del quadrato CPRQ e l'area del settore circolare PCQ che è un quarto di cerchio (come quello del problema di ieri emt )

Lascio a te questo semplice calcolo. emt
Ringraziano: Omega, drago95

Fascio di parabole e circonferenze, esercizio #30166

avt
drago95
Cerchio
Ah.. ho capito.
Allora è il mio libro che fa gli errori...
Grazie 1000 per il tuo aiuto...
Ringraziano: Danni
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Os