Luogo dei centri di un fascio di circonferenze e parabola

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Luogo dei centri di un fascio di circonferenze e parabola #29949

avt
drago95
Cerchio
Ciao a tutti, ho un problema sul luogo dei centri di un fascio di circonferenze e sulla parabola, è un esercizio di quelli tosti in cui non ci sto capendo un tubo. Non ho neppure i risultati. Eccolo:

a) Verifica che il luogo dei centri delle circonferenze passanti per l'origine del sistema di riferimento e tangenti alla retta x-1=0 è la parabola di equazione x=-\frac{1}{2}y^2+\frac{1}{2}.

b) Siano A e B le intersezioni della parabola con l'asse delle ordinate. Scrivi l'equazione della circonferenza avente il centro nel punto (1;0) e passante per A e B.

c) Calcola l'area della superficie di piano racchiusa dalla circonferenza e dalla parabola.



Allora per quanto riguarda il punto A non so da dove incominciare. Non so se bisogna prendere un punto P(x;y).

Per quanto riguarda il punto b) riesco a farlo anche da solo.

Per quanto riguarda il punto c) invece vi volevo chiedere una cosa. Ma si usa la formula C=2\pi r ?

Nell'attesa vi ringrazio anticipatamente e vi saluto.
 
 

Luogo dei centri di un fascio di circonferenze e parabola #29996

avt
Danni
Sfera
Hello hello emt

a) Determiniamo questo interessante luogo geometrico. Vedrai che ora tutto sarà chiaro, basta ragionare sui dati un passo per volta.

Partendo dalle formule della circonferenza, prendiamo la generica equazione. Le circonferenze del fascio passano per l'origine. Questo significa che nell'equazione canonica il termine noto c' è nullo:

x^2 + y^2 + ax + by = 0

La retta di equazione data è tangente alle circonferenze del fascio. Sostituiamo il valore di x nell'equazione canonica ed otteniamo la risolvente di equazione

y^2 + by + a + 1 = 0

Della risolvente imponiamo nullo il discriminante per la condizione di tangenza circonferenza-retta:

\Delta = b^2 - 4(a + 1) = 0

da cui ricaviamo

a = \frac{b^2 - 4}{4}

Sappiamo che le coordinate del generico centro della circonferenza sono date da

\begin{cases} xC = -\frac{a}{2} \\ yC = -\frac{b}{2 \end{cases}}

Imponiamo

xC = - \frac{a}{2} = \frac{4 - b^2}{8}

quindi

b^2 = 4 - 8xC \Leftrightarrow b = \pm \sqrt{4 - 8xC}

Sostituiamo questo dato nella seconda equazione del sistema:

yC = \frac {\mp\sqrt{4 - 8xC}}{2}

con

xC \leq \frac{1}{2} \cup yC \geq 0

Sotto queste condizioni eleviamo al quadrato:

y^2 = \frac{4 - 8x}{4}

y^2 = 1 - 2x

da cui

x = - \frac{1}{2}y^2 + \frac{1}{2}

che è la parabola luogo dei centri richiesta.

b) Hai sicuramente determinato

A(0;1)

B(0;-1)

Il raggio della circonferenza è dato dalla misura del segmento CA (o CB)

r^2 = \overline{CA^2} = 2

Equazione della circonferenza:

(x - xC)^2 + (y - yC)^2 = r^2

che porta a

x^2 + y^2 - 2x - 1 = 0

c) Di sicuro non userai la formula della lunghezza della circonferenza, qui è richiesta un'area emt

Dovresti dirmi se per il calcolo dell'area usi gli integrali (qui un po' difficilotti da applicare) o il terorema di Archimede.

L'area che ti interessa è data da:

settore circolare ABC - triangolo ABC + 2/3 dell'area del rettangolo compreso tra le rette AB, le loro perpendicolari in A e in B e la retta verticale passante per il vertice della parabola.
Tale rettangolo ha altezza AB = 2 e base = xV = 1/2

Area settore: un quarto dell'area del cerchio

A_1 = \frac{A}{4} = \frac{\pi\cdot r^2}{4} = \frac{\pi}{2}

Area triangolo ABC:

A_2 = A_S(ABC) = \frac{r^2}{2} = 1

Area 2/3 del rettangolo:

A_3 = \frac{2}{3}\cdot  \frac{1}{2} \cdot 2 = \frac{2}{3}

Area = A_1 - A_2 + A_3 = \frac{\pi}{2} - 1 + \frac{2}{3} = \frac{\pi}{2} - \frac{1}{3}

emt
Ringraziano: Omega, Pi Greco, drago95
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Os