Esercizio su fascio di parabole ed ellisse

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Esercizio su fascio di parabole ed ellisse #29945

avt
drago95
Cerchio
Ciao, ho un problema su fascio di parabole e un ellisse che non mi risulta. Eccolo.

a) Studia il fascio di parabole di equazione

(k+1)y+(k-1)x^2+2x(1-2k)+3-5k=0

indicando quali sono le parabole degeneri e per quali valori di k si ottengono.

b) Scrivi poi l'equazione dell'ellisse avente per eccentricità 4/5 e per asse minore il segmento che ha per estremi il punto base del fascio di ascissa negativa e il punto ad esso simmetrico rispetto alla retta x-2=0.


Allora per quanto riguarda il punto a) ho incominciato a studiare il fascio. Ho svolto i calcoli e ho fatto i due casi: k=0,\ k\to \infty. Il problema è che ottengo due parabole e nessuna delle quali degeneri in rette. Come faccio allora a determinare il valore che k assume nelle parabole degeneri?

Per quanto riguarda il punto b) invece non riesco a decifrare il testo: in che senso simmetrico a x-2=0?

Nell'attesa vi ringrazio anticipatamente e vi saluto.
 
 

Esercizio su fascio di parabole ed ellisse #29958

avt
Veny
Cerchio
Allora cominciamo con il punto a):

PARABOLE DEGENERI

Le parabole degeneri in un fascio di parabole si individuano partendo dalla forma del fascio a te data e si cercano quei valori che annullino le parentesi (k+1)\mbox{ e }(k-1).

\\ (k+1)=0\Rightarrow k=-1 \\ \\ (k-1)=0\Rightarrow k=1

Ora andiamo a sostituire i due valori di k:

\\ k=-1 \Rightarrow -2x^{2}+2x+4x+3+5=0 \Rightarrow x=-1 \vee x=4\\ \\ k=1 \Rightarrow 2y+2x-4x+3-5=0 \Rightarrow y=x+2

Quindi otteniamo che le rette degeneri sono:

\\ \mbox{Per}\ k=-1:\ \ \x=-1,\ x=4\\ \\ \mbox{Per}\ k=1:\ \ y=x+2


Per quanto riguarda il punto b) invece, per prima cosa devi determinare i punti base del fascio di parabole.

PUNTI BASE DEL FASCIO

Bisogna riscrivere il fascio mettendo in evidenza del due parabole generatrici:

y-x^{2}+2x+3+k(y+x^{2}-4x-5)=0

in questo modo possiamo mettere a sistema le due generatrici e ottenere i punti base.

\begin{cases}y-x^{2}+2x+3=0\\ y+x^{2}-4x-5=0\end{cases}

otteniamo (-1;0),\ (4;5).

Il problema poi ci chiede di trovare il simmetrico del punto con ascissa negativa, quindi (-1;0) rispetto alla retta x-2=0.
Tale punto sarà (5;0), quindi il nostro asse minore dell'ellisse andrà da (-1;0) a (5;0).

Sapendo che l'equazione dell'ellisse con fuochi sull'asse y è:

\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1

Sapendo che l'asse minore è 2a, possiamo dire che a=3. Inoltre sapendo che l'eccentricità

e=\frac{c}{b}=\frac{4}{5}\Rightarrow c=\frac{4b}{5}

Sappiamo anche che

a^{2}=b^{2}-c^{2}\Rightarrow 9=b^{2}-c^{2}

mettendo a sistema queste ultime due informazioni ottieni

b^{2}=25

e quindi sei in grado di scrivere l'equazione dell'ellisse.
Ringraziano: Omega, drago95

Esercizio su fascio di parabole ed ellisse #29974

avt
Danni
Sfera
Ciao Drago,

per determinare le equazioni della parabole degeneri devi rendere nullo il coefficiente di y e in seguito il coefficiente di x²

1)\;\; k = - 1

ottieni un'equazione di secondo grado in x le cui due soluzioni danno le equazioni di due rette verticali

-2x^2 + 6x + 8 = 0 \Leftrightarrow x^2 - 3x - 4 = 0 \Leftrightarrow (x + 1)(x - 4) = 0

Le due rette verticali in cui il fascio degenera hanno equazione

\\ x = - 1\\ \\ x = 4\\ \\ 2)\;\; k = 1

ottieni un'equazione di primo grado in due incognite che analiticamente rappresenta una retta non verticale:

2x - 2y + 2 = 0 \Leftrightarrow x - y + 1 = 0

Le tre rette così identificate sono le parabole degeneri appartenenti al fascio assegnato.


b) Il punto base di ascissa negativa è chiaramente A(-1;0), ottenuto dalla risoluzione del sistema formato dall'equazione della degenere con ascissa negativa e dall'equazione della degenere non verticale:

\begin{cases} x = - 1 \\ x - y + 1 = 0 \end{cases}

La verticale di equazione x = 2 divide a metà l'asse minore AA' dell'ellisse.

Le coordinate del punto A' simmetrico di A rispetto alla verticale v assegnata si ricavano con le formule per le coordinate del punto medio

\\ x_{A'} = 2x_v - x_A = 4 + 1 = 5\\ \\ y_{A'} = y_A = 0\\ \\ A'(5;0)\\ \\ \overline{AA'} = |x_A - x_{A'}| = |- 1 - 5| = 6

da cui

a = 3 \Leftrightarrow a^2 = 9

Poiché AA' è l'asse minore, valgono le relazioni

\begin{cases}e = \frac{c}{b} \\ c^2 = b^2 - a^2 \end{cases}

Risolvendo il sistema si ottiene

\begin{cases}a^2 = 9 \\ b^2 = 25 \end{cases}

L'equazione dell'ellisse riferita al sistema xOy è quindi

\frac{(x - 2)^2}{9} + \frac{y^2}{25} = 1

ovvero

25x^2 + 9y^2 - 100x - 125 = 0
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Ifrit, drago95
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Os