Problema con vertici e fuochi di ellisse e iperbole

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Problema con vertici e fuochi di ellisse e iperbole #29740

avt
drago95
Cerchio
Ciao a tutti, ho un piccolo problema di Geometria Analitica su fuochi e vertici di ellisse e iperbole che non mi risulta. Eccolo:

Data l'iperbole (x-2)^2 - \frac{(y-4)^2}{3}=1, scrivere l'equazione dell'ellisse avente i vertici coincidenti con i fuochi dell'iperbole ed i fuochi coincidenti con i vertici dell'iperbole.


Allora io ho trovato i vertici dell'ellisse che sono i fuochi dell'iperbole. Quindi V_1(0;4) e V_2(4;4), e ho trovato i fuochi dell'ellisse che sono i vertici dell'iperbole.

F_1(1;4),\ F_2(3;4)

A questo punto come faccio a determinare a^2 e b^2 ?

Nell'attesa vi ringrazio anticipatamente.
 
 

Problema con vertici e fuochi di ellisse e iperbole #29810

avt
Ifrit
Amministratore
Ciao, vediamo come risolvere: abbiamo l'equazione dell'iperbole (click per le formule)

\Gamma_1:(x-2)^2-\frac{(y-4)^2}{3}=1

Effettuiamo la traslazione (vedi cambiamenti di coordinate nel piano)

X= x-2,\ Y=y-4

di modo che il centro dell'iperbole coincida con l'origine degli assi.

\Gamma_2: X^2-\frac{Y^2}{3}=1

A questo punto calcoliamo i fuochi dell'iperbole \Gamma_2

F_{\Gamma_2}= (\pm c, 0)

dove c=\sqrt{1+3}=2

Dunque le coordinate dei fuochi sono:

F_{\Gamma_2}=(-2,0) e F_{\Gamma_2}=(2,0)

Le coordinate dei vertici si ottengono semplicemente ponendo Y=0 ed infine risolvere l'equazione che ne scaturisce:

X^2=1\iff X_{1,2}=\pm 1

I vertici dell'iperbole \Gamma_2 sono V_{Gamma_2}=(-1,0) e V_{\Gamma_2}=(1,0).


Con le informazioni a nostra disposizione possiamo determinare l'ellisse traslata, che ha i fuochi nei vertici dell'iperbole, e vertici nei fuochi dell'iperbole.

Da ciò si evince che i parametri dell'ellisse sono:

a= 2 perché coincide con l'ascissa del fuoco dell'iperbole.

mentre c= 1 perché coincide con l'ascissa dei vertici dell'iperbole.

Dalla relazione fondamentale abbiamo che:

b^2= a^2-c^2\iff b^2=4-1=3

Dunque l'equazione dell'ellisse è:

\frac{X^2}{a^2}+\frac{Y^2}{b^2}=1\iff

\iff \frac{X^2}{4}+\frac{Y^2}{3}=1

A questo punto, trasliamo nuovamente utilizzando le trasformazioni succitate ottenendo:

\frac{(x-2)^2}{4}+\frac{(y-4)^2}{3}=1

Se hai dubbi sai cosa fare!
Ringraziano: Omega, Pi Greco, shocker, drago95

Problema con vertici e fuochi di ellisse e iperbole #29886

avt
drago95
Cerchio
Ah.. ok.
Adesso mi torna tutto..
Grazie 1000 per l'aiuto che mi hai dato!!
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Os