Problema con vertici e fuochi di ellisse e iperbole

Ciao a tutti, ho un piccolo problema di Geometria Analitica su fuochi e vertici di ellisse e iperbole che non mi risulta. Eccolo:

Data l'iperbole , scrivere l'equazione dell'ellisse avente i vertici coincidenti con i fuochi dell'iperbole ed i fuochi coincidenti con i vertici dell'iperbole.


Allora io ho trovato i vertici dell'ellisse che sono i fuochi dell'iperbole. Quindi e , e ho trovato i fuochi dell'ellisse che sono i vertici dell'iperbole.



A questo punto come faccio a determinare e ?

Nell'attesa vi ringrazio anticipatamente.

Ciao, vediamo come risolvere: abbiamo l'equazione dell'iperbole (click per le formule)



Effettuiamo la traslazione (vedi cambiamenti di coordinate nel piano)



di modo che il centro dell'iperbole coincida con l'origine degli assi.



A questo punto calcoliamo i fuochi dell'iperbole



dove

Dunque le coordinate dei fuochi sono:

e

Le coordinate dei vertici si ottengono semplicemente ponendo ed infine risolvere l'equazione che ne scaturisce:



I vertici dell'iperbole sono e .


Con le informazioni a nostra disposizione possiamo determinare l'ellisse traslata, che ha i fuochi nei vertici dell'iperbole, e vertici nei fuochi dell'iperbole.

Da ciò si evince che i parametri dell'ellisse sono:

perché coincide con l'ascissa del fuoco dell'iperbole.

mentre perché coincide con l'ascissa dei vertici dell'iperbole.

Dalla relazione fondamentale abbiamo che:



Dunque l'equazione dell'ellisse è:





A questo punto, trasliamo nuovamente utilizzando le trasformazioni succitate ottenendo:



Se hai dubbi sai cosa fare!

Ah.. ok.
Adesso mi torna tutto..
Grazie 1000 per l'aiuto che mi hai dato!!