Problema di analitica su iperbole traslata ed ellisse

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Problema di analitica su iperbole traslata ed ellisse #29458

avt
drago95
Cerchio
Ciao a tutti, ho un problema di analitica su iperbole traslata ed ellisse che non riesco a risolvere..

Ecco il testo dell'esercizio:

a) Studia e rappresenta graficamente la conica di equazione 3x^2-y^2-18x+4y+20=0, individuandone le caratteristiche.

b) Trasforma la curva data in un'iperbole avente il centro di simmetria nel punto (2;4) e determinane l'equazione.

c) Scrivi l'equazione dell'ellisse avente i vertici coincidenti con i fuochi dell'iperbole trasformata ed i fuochi coincidenti con i vertici dell'iperbole trasformata.


Allora riguardo al primo punto non ho avuto problemi...

Attraverso il completamento del quadrato ho trovato l'equazione di un'iperbole traslata:

(x-3)^2 - \frac{(y-2)^2}{3}=1.

Questa iperbole ha centro (3;2).

Essendo traslata ho calcolato le coordinate dei vertici e dei fuochi grazie a questo sistema:

\begin{cases}x = X+3\\ y = Y+2\end{cases}

Quindi V_1(2;2),\ V_2(4;2),\ F_1(1;2),\ F_2(5;2).

Riguardo al punto b) invece non so da dove cominciare..Non so, devo sostituire alle coordinate del centro (3;2), quelle del nuovo centro (2;4) ?

Nell'attesa vi ringrazio anticipatamente.
 
 

Problema di analitica su iperbole traslata ed ellisse #29475

avt
Ifrit
Ambasciatore
Ciao drago95, il punto a) è perfetto. Per quanto riguarda il punto b) devi traslare l'iperbole che hai di modo che abbia centro di simmetria nel punto (2,4)

Io consiglio di procedere in questo modo:

(x-3)^2-\frac{(y-2)^2}{3}=1

Imponiamo un'opportuna traslazione (vedi cambiamenti di coordinate nel piano)

X=x-3 e Y= y-2

L'equazione si riscrive come:

X^2-\frac{Y^2}{3}=1

otteniamo quindi la traslata dell'iperbole di partenza con centro di simmetria in C(0,0)

A questo punto dobbiamo traslare l'iperbole di modo che essa abbia centro in (2,4) e per farlo utilizziamo le trasformazioni:

x_1= X+2=x-3+2= x-1

y_1=Y+4= y-2+4= y+2

Da cui abbiamo che:

x= x_1+1

y= y_1-2

Sostituendo nella equazione di partenza:

(x_1+1-3)^2-\frac{(y_1-2-2)^2}{3}=1\iff

(x_1-2)^2-\frac{(y_1-4)^2}{3}=1

che è equivalente all'equazione:

3x^2-y^2-12x+8y-7=0

Abbiamo ottenuto l'iperbole trasformata. Ti torna tutto?
Ringraziano: Omega, Pi Greco, drago95

Problema di analitica su iperbole traslata ed ellisse #29484

avt
drago95
Cerchio
Si.. adesso si che mi torna... Grazie ancora per l'aiuto !
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Os