Intersezione retta-circonferenza con parametro

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Intersezione retta-circonferenza con parametro #29281

avt
Ing20
Punto
Ciao ragazzi, mi sono imbattuto in questo esercizio sulle intersezioni tra retta e circonferenza (con un parametro) apparentemente banale ma che mi sta sottraendo molto tempo. Sto cercando di colmare le mie lacune matematiche per superare il test di Ingegneria..

Il testo dice: per quali valori del parametro k (reale) la circonferenza di equazione (x-k)^{2}+(y-k)^{2}=1 interseca la retta di equazione x=2?

Ho messo le due equazioni a sistema ma il risultato trovato non corrisponde a quello del libro.

Mi aiutate?
 
 

Re: Intersezione retta-circonferenza con parametro #29294

avt
Danni
Sfera
Ciao Ing emt
Sostituisci il valore x = 2 nell'equazione del fascio di circonferenze ed ottieni la risultante

(2 - k)^2 + (y - k)^2 = 1

da cui

k^2 - 4k + 4 + y^2 - 2ky + k^2 = 1

y^2 - 2ky + 2k^2 - 4k + 3 = 0

Perché la retta intersechi la circonferenza, il discriminante della risultante deve essere positivo, ovvero l'equazione deve avere due soluzioni reali (vedi posizioni circonferenza-retta).
La tangenza non è in realtà una intersezione ma poiché nella tangenza i punti sono sempre due anche se coincidenti, possiamo attenuare la disequazione ed otteniamo

\frac{\Delta  }{4} = k^2 - 2k^2 + 4k - 3 \geq 0

\frac{\Delta  }{4} = k^2 - 4k + 3 \leq 0

(k - 1)(k - 3) \leq 0

1 \leq k \leq 3

Per k = 1 U k = 3 la retta è tangente. Per valori di k interni a questo intervallo, la retta è secante. emt
Ringraziano: Omega

Re: Intersezione retta-circonferenza con parametro #29301

avt
Ing20
Punto
Scusami ma non riesco a capire che fine fa la variabile y...

Re: Intersezione retta-circonferenza con parametro #29304

avt
shocker
Punto
Ciao! emt

La variabile y non serve, noi prendiamo in considerazione il *discrimante* dell'equazione.
Ringraziano: Omega, Pi Greco

Re: Intersezione retta-circonferenza con parametro #29309

avt
Ing20
Punto
Scusatemi ragazzi ma sto entrando nel pallone...non riesco a capire come da y^2 - 2ky + 2k^2 - 4k + 3 = 0 (un'equazione contenente la variabile y) si arrivi a un trimonio in k.(spero di essere stato chiaro). Comunque vi ringrazio per la disponibilità!

Re: Intersezione retta-circonferenza con parametro #29339

avt
shocker
Punto
Ing20 ha scritto:
Scusatemi ragazzi ma sto entrando nel pallone...non riesco a capire come da y^2 - 2ky + 2k^2 - 4k + 3 = 0 (un'equazione contenente la variabile y) si arrivi a un trimonio in k.(spero di essere stato chiaro). Comunque vi ringrazio per la disponibilità!

Ciao!

Bene, se dirò qualcosa di sbagliato non mangiatemi.emt '

Torniamo un attimo alla geometria euclidea!(niente di troppo specifico)
Ripassiamo un attimo le posizioni reciproche tra una retta ed una circonferenza.
Una retta è secante ad una circonferenza quando ha due punti in comune con la circonferenza.
Una retta è tangente ad una circonferenza quando la retta e la circonferenza hanno un punto in comune.
Una retta è esterna alla circonferenza quando non ha punti in comune con essa.

Giriamo a destra e passiamo per l'algebra:
in un'equazione di secondo grado, completa, ax^2 + bx + c il discriminante è uguale a:
b^2 - 4ac => \Delta =  b^2 - 4ac
Quando \Delta > 0 l'equazione avrà due soluzioni distinte.
Quando \Delta >= 0 l'equazione avrà due soluzioni coincidenti, in sostanza una sola soluzione
Quando \Delta< 0 l'equazione non ammette soluzioni nell'insieme dei numeri Reali.
Ora per sfizio ci calcoliamo il \Delta di y^2 - 2ky + 2k^2 - 4k + 3 = 0
a = 1 -> coefficiente di y^2
b = -2k-> coefficiente di -2ky
c = +2k^2 - 4k + 3 -> tutti termini senza incognita
\Delta = b^2 - 4ac
\Delta  = (-2k)^2 - 4(1 * 2k^2 - 4k + 3)
\Delta =  4k^2   - 8k^2 + 16k -12
\Delta =  -4k^2 + 16k - 12
Dividiamo tutto per 4:
\frac{\Delta}{4} = -k^2 + 4k - 3

Svoltiamo a sinista e ritorniamo alla geometria analitica.
Abbiamo l'equazione y^2 - 2ky + 2k^2 - 4k + 3 = 0 che è la risultante.
Dobbiamo verificare per quali valori di k, la circonferenza e la retta si intersecano.
Per verificare ciò poniamo il discriminante dell'equazione maggiore uguale a 0. Perché? Da quel che sappiamo quando il discriminante è maggiore di zero l'equazione ha due soluzioni distinte che analiticamente rappresentano le coordinate y di due punti , se è uguale a zero le soluzioni sono coincidenti e rappresentano la stessa coordinata y del punto. Una retta è secante quando ha 2 punti in comune con la circonferenza e tangente quando ne ha solo 1. Quindi ponendo il delta maggiore uguale a 0 mi trovo tutti i valori di k che risolvono il quesito(ovviamente tutto questo tenendo conto che l'equazione y^2 - 2ky + 2k^2 - 4k + 3 = 0 è la risultante tra il fascio di circonferenze e la retta x= 2).
Capito perché si considera il discriminante e quindi dall'equazione si passa al trinomio?
Ringraziano: Omega, Pi Greco

Re: Intersezione retta-circonferenza con parametro #29340

avt
Ing20
Punto
Ti ringrazio, ora è tutto chiaro! emt

Re: Intersezione retta-circonferenza con parametro #29341

avt
shocker
Punto
Ing20 ha scritto:
Ti ringrazio, ora è tutto chiaro! emt

Sicuro? Se c'è altro, chiedi pure emt
Edit: mi sono accorto di aver scritto un'imprecisione nel post precedente(che ora ho corretto), le soluzioni della risultante rappresentano le coordinate y di due punti distinti(nel caso delta > 0) e dell'unico punto(nel caso delta = 0). Ovviamente la coordinata x è 2.

Felice di averti aiutato! emt
Ringraziano: Omega, Pi Greco

Re: Intersezione retta-circonferenza con parametro #29424

avt
Danni
Sfera
OOppsss non avevo visto l'ulteriore richiesta. Chiedo venia, sono in vacanza emt

Probabilmente nessuno leggerà l'aggiunta ma la inserisco lo stesso.

Lo scopo delle parametriche sta nel determinare il valore del parametro per cui si verifichino certe condizioni richieste dall'esercizio.

La/le variabile/i della risolvente non hanno alcun peso nella risoluzione del quesito che dipende esclusivamente dal parametro.

Ad esempio, se si richiede di determinare per quale valore di k la retta di equazione

y = 2x + k - 3

passa per l'origine, dobbiamo ricordare che una retta passa per l'origine quando il termine noto è nullo.

Basta quindi imporre

k - 3 = 0 \Leftrightarrow k = 3

e la retta di equazione

y = 2x

ottenuta per

k = 3

passa sicuramente per l'origine.

Abbiamo ottenuto il valore di k che risolve il problema mentre le variabili sono rimaste al loro posto.

L'equazione risolvente dell'esercizio è di secondo grado in y e la y se ne sta tranquilla. A noi interessa sapere PER QUALE VALORE DI k (e non di y) si ha intersezione (due punti distinti in comune tra retta e circonferenza, Delta > 0) o tangenza (due punti coincidenti ovvero un unico punto in comune tra retta e circonferenza, Delta = 0)

Tutto qui.

emt
Ringraziano: Omega, Pi Greco, shocker
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