Esercizio di riepilogo sulle coniche

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Esercizio di riepilogo sulle coniche #29260

avt
drago95
Cerchio
Ciao a tutti... Sono nuovo da queste parti e spero di riuscire ad impostare correttamente il mio problema: è un esercizio di riepilogo sulle coniche.

Eccolo l'esercizio:

a) Nel fascio di circonferenze di equazione x^2+y^2+4x-4y+k=0, individua quella tangente a entrambi gli assi cartesiani.
b) Determina l'equazione della parabola avente il vertice nel centro della circonferenza e passante per l'origine degli assi.
c) Scrivi l'equazione della parabola simmetrica della parabola data rispetto al diametro della circonferenza passante per l'origine.
d) Scrivi infine, applicando la definizione, l'equazione dell'ellisse avente per fuochi i punti di intersezione delle due parabole e per semiasse maggiore un segmento di lunghezza 4.

Riguardo ai punti a), b), c) non ho avuto grossi problemi...

Io vi scrivo tutto il procedimento che ho fatto io..Mi ci potreste dare un'occhiata se è giusto?

Per trovare l'equazione della circonferenza ho messo a sistema l'equazione del fascio con l'asse x e con l'asse y ed ho ottenuto k=4, che sono andato poi a sostituirlo al fascio ed ho ottenuto la circonferenza di equazione x^2+y^2+4x-4y+4=0. Questa circonferenza ha centro C(-2;2).

Dopodiché per trovare la parabola, so che ha il vertice V di coordinate (-2;2), poiché coincide con il centro della circonferenza e so che la parabola passa per O(0;0).
Facendo il sistema... Ottengo i valori di a=-1/2 , b=-2 e c=0.
Quindi la parabola ha equazione : y=-1/2x^2 - 2x
Per trovare la parabola simmetrica della parabola precedente rispetto al diametro della circonferenza ho calcolato l'equazione della retta che passa per l'origine e per il centro della circonferenza.
L'equazione della retta è quindi y=-x (la bisettrice del secondo e quarto quadrante).
Applicando la simmetrica assiale,

x'=-y
y'=-x

Ottengo l'equazione della parabola x=1/2y^2 - 2y.

Riguardo al punto d) invece mi trovo in difficoltà...
Per trovare i fuochi dell'ellisse ho provato a mettere a sistema le due parabole... Ma ottengo questa equazione :

y^4 - 8y^3 + 24y^2 - 24y =0

Ma non riesco a trovare alcun valore di y...

Nell'attesa di una vostra risposta, vi ringrazio anticipatamente.
 
 

Esercizio di riepilogo sulle coniche #29262

avt
Ifrit
Ambasciatore
Ciao drago95 emt

I tuoi risultati sono corretti! Complimenti emt

Per quanto riguarda l'equazione:

y^4 - 8y^3 + 24y^2 - 24y =0

mettiamo in evidenza y:

y(y^3-8y^2+24 y-24)=0

da cui otteniamo la prima soluzione:

y=0

la seconda soluzione deriva dalla equazione:

y^3-8y^2+24 y-24=0

Grazie a Ruffini possiamo abbassare il grado della equazione. Osserva che 2 è radice dell'equazione, innescando Ruffini avrai:


y^3-8y^2+24y-24=0\iff (y^2-6y+12)(y-2)=0

L'altra soluzione reale è quindi:

y=2

I fuochi sono A(-2,2) e B(0,0)


Ti torna? emt
Ringraziano: Omega, Pi Greco, drago95

Esercizio di riepilogo sulle coniche #29275

avt
drago95
Cerchio
Si.. Mi torna.
Grazie 1000!!!
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Os