Circonferenza tangente a due rette

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Circonferenza tangente a due rette #29239

avt
slashrock93
Punto
Buondì vi scrivo un problema in cui devo trovare la circonferenza tangente a due rette. Più che altro mi interesserebbe capire il ragionamento per trovare la circonferenza.

Determinare l'equazione della circonferenza tangente in A e B alle rette x+4y-8=0 e 4x-y-19=0 avente il centro che appartiene alla retta 2x-y=0 e al 1° quadrante.

Grazie in anticipo.
 
 

Re: Circonferenza tangente a due rette #29244

avt
Danni
Sfera
Ciao, come consiglio sempre in questi casi, tieni aperto il formulario sulla circonferenza così hai tutte le formule a portata di mano. emt

Il centro C della circonferenza appartiene alla retta di equazione

y = 2x

Le sue coordinate sono quindi

C(x;2x)

La distanza tra centro e tangenti è congruente al raggio. Applica la formula della distanza di un punto da una retta. Il punto è il centro C, le rette sono le due tangenti di equazione

x + 4y - 8 = 0

4x - y - 19 = 0

Deve essere

CA = CB

\frac{|axC + byC + c| }{\sqrt{a^2 + b^2}} = \frac{|a'xC + b'yC + c'| }{\sqrt{a'^2 + b'^2}} }

\frac{|x + 8x - 8| }{\sqrt{17}} = \frac{|4x - 2x - 19| }{\sqrt{17}} }

|9x - 8| = |2x - 19|

Sciogli il modulo:

9x - 8= \pm\;(2x - 19)

Poiché il centro C della circonferenza appartiene al primo quadrante, le sue coordinate sono positive:

9x - 8 = - 2x + 19 \Leftrightarrow x = \frac{27}{11} \Rightarrow  yC = 2x = \frac{54}{11}

r = \frac{19 - 2x}{\sqrt{17}}} = \frac{155}{11\cdot \sqrt{17}}

Un risultato pauroso, spero che tu abbia inviato i dati esatti.

Equazione della circonferenza:

(x - xC)^2 + (y - yC)^2 = r^2

(x - \frac{27}{11})^2 + (y - \frac{54}{11})^2 = (\frac{155}{11 \cdot \sqrt{17}})^2

Risultato controllato in grafico, la circonferenza che ha questa equazione è effettivamente tangente alle due rette assegnate nei punti A e B di cui, con i dati acquisiti durante la prima parte della risoluzione, puoi determinare le coordinate.

Ciao e buon lavoro emt
Ringraziano: Pi Greco
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Os