Circonferenza tangente a due rette

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#29239
avt
slashrock93
Punto

Buondì vi scrivo un problema in cui devo trovare la circonferenza tangente a due rette. Più che altro mi interesserebbe capire il ragionamento per trovare la circonferenza.

Determinare l'equazione della circonferenza tangente in A e B alle rette x+4y−8 = 0 e 4x−y−19 = 0 avente il centro che appartiene alla retta 2x−y = 0 e al 1° quadrante.

Grazie in anticipo.

#29244
avt
Danni
Sfera

Ciao, come consiglio sempre in questi casi, tieni aperto il formulario sulla circonferenza così hai tutte le formule a portata di mano. emt

Il centro C della circonferenza appartiene alla retta di equazione

y = 2x

Le sue coordinate sono quindi

C(x;2x)

La distanza tra centro e tangenti è congruente al raggio. Applica la formula della distanza di un punto da una retta. Il punto è il centro C, le rette sono le due tangenti di equazione

x+4y−8 = 0

4x−y−19 = 0

Deve essere

CA = CB

(|axC+byC+c|)/(√(a^2+b^2)) = (|a'xC+b'yC+c'|)/(√(a'^2+b'^2))

(|x+8x−8|)/(√(17)) = (|4x−2x−19|)/(√(17))

|9x−8| = |2x−19|

Sciogli il modulo:

9x−8 = ± ;(2x−19)

Poiché il centro C della circonferenza appartiene al primo quadrante, le sue coordinate sono positive:

9x−8 = −2x+19 ⇔ x = (27)/(11) ⇒ yC = 2x = (54)/(11)

r = (19−2x)/(√(17)) = (155)/(11·√(17))

Un risultato pauroso, spero che tu abbia inviato i dati esatti.

Equazione della circonferenza:

(x−xC)^2+(y−yC)^2 = r^2

(x−(27)/(11))^2+(y−(54)/(11))^2 = ((155)/(11·√(17)))^2

Risultato controllato in grafico, la circonferenza che ha questa equazione è effettivamente tangente alle due rette assegnate nei punti A e B di cui, con i dati acquisiti durante la prima parte della risoluzione, puoi determinare le coordinate.

Ciao e buon lavoro emt

Ringraziano: Pi Greco
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