Verificare che due coniche sono tangenti, esercizio

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Verificare che due coniche sono tangenti, esercizio #28903

avt
littlerabb94
Punto
Ciao a tutti avrei un problema di Geometria Analitica in cui devo verificare che due coniche sono tangenti, e che saprei risolvere ma solo attraverso lunghi passaggi, voi sapreste dirmi un modo più veloce?

Ringrazio in anticipo chi mi risponde!

Ecco il testo dell'esercizio:

verificare che le coniche x^{2}+2y â 3 = 0 e xy =1 sono tangenti e si incontrano nell'ulteriore punto P (-2;-1/2). Determinare l'equazione della retta tangente ad esse nel loro punto di tangenza.

Grazie in anticipo...
 
 

Verificare che due coniche sono tangenti, esercizio #28923

avt
Danni
Sfera
Ciao littlerabb emt
vediamo di che si tratta.

C'è una parabola di equazione

x^2 + 2y - 3 = 0

ed un'iperbole equilatera di equazione

y = \frac{1}{x} \;\; (x \neq 0)

Intersechiamo le due coniche impostando un sistema con le loro due equazioni:

\begin{cases}x^2 + \frac{2}{x} - 3 = 0 \\ y = \frac{1}{x}\end{cases}

Risolviamo la prima equazione:

x^3 - 3x + 2 = 0

Puoi applicare il teorema del resto e la regola di Ruffini o più semplicemente puoi scrivere il trinomio al primo membro così:

x^3 - 4x + x + 2 = 0

x(x^2 - 4) + (x + 2) = 0

(x + 2)[x(x - 2) + 1] = 0

(x + 2)(x^2 - 2x + 1) = 0

(x + 2)(x - 1)^2 = 0

Riprendiamo il sistema:

\begin{cases}(x + 2)(x - 1)^2 = 0 \\ y = \frac{1}{x}\end{cases}

Sempre, dove c'è un quadrato di binomio c'è tangenza. Quindi le due coniche sono tangenti in

T(1;1)

e si intersecano in un secondo punto P di ascissa - 2

P(-2;-1/2)

Determiniamo l'equazione della retta tangente alle due coniche nel punto T

Portiamo l'equazione della parabola dalla forma implicita a quella canonica:

y = -\frac{1}{2}x^2 + \frac{3}{2}

Il coefficiente angolare m della retta tangente alla parabola in un suo punto T è dato da

m = 2a(xT) + b

m = 2\cdot (-\frac{1}{2})\cdot 1 = - 1

Equazione della retta tangente in T:

y - yT = m(x - xT)

y - 1 = - (x - 1)

y = - x + 2

o in forma implicita

x + y - 2 = 0

emt
Ringraziano: Omega, Pi Greco, littlerabb94

Verificare che due coniche sono tangenti, esercizio #28949

avt
littlerabb94
Punto
Grazie mille Danni... senza il tuo aiuto avevo fatto l'esercizio con passaggi molto lunghi... ancora molte grazie!
Ringraziano: Danni

Verificare che due coniche sono tangenti, esercizio #28976

avt
Danni
Sfera
Grazie a te, ciao e buono studio emt
Ringraziano: Omega
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Os