Verificare che due coniche sono tangenti, esercizio

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#28903
avt
littlerabb94
Punto

Ciao a tutti avrei un problema di Geometria Analitica in cui devo verificare che due coniche sono tangenti, e che saprei risolvere ma solo attraverso lunghi passaggi, voi sapreste dirmi un modo più veloce?

Ringrazio in anticipo chi mi risponde!

Ecco il testo dell'esercizio:

verificare che le coniche x^(2)+2y â 3 = 0 e xy = 1 sono tangenti e si incontrano nell'ulteriore punto P (-2;-1/2). Determinare l'equazione della retta tangente ad esse nel loro punto di tangenza.

Grazie in anticipo...

#28923
avt
Danni
Sfera

Ciao littlerabb emt

vediamo di che si tratta.

C'è una parabola di equazione

x^2+2y−3 = 0

ed un'iperbole equilatera di equazione

y = (1)/(x) ; ; (x ≠ 0)

Intersechiamo le due coniche impostando un sistema con le loro due equazioni:

x^2+(2)/(x)−3 = 0 ; y = (1)/(x)

Risolviamo la prima equazione:

x^3−3x+2 = 0

Puoi applicare il teorema del resto e la regola di Ruffini o più semplicemente puoi scrivere il trinomio al primo membro così:

x^3−4x+x+2 = 0

x(x^2−4)+(x+2) = 0

(x+2)[x(x−2)+1] = 0

(x+2)(x^2−2x+1) = 0

(x+2)(x−1)^2 = 0

Riprendiamo il sistema:

(x+2)(x−1)^2 = 0 ; y = (1)/(x)

Sempre, dove c'è un quadrato di binomio c'è tangenza. Quindi le due coniche sono tangenti in

T(1;1)

e si intersecano in un secondo punto P di ascissa - 2

P(−2;−1/2)

Determiniamo l'equazione della retta tangente alle due coniche nel punto T

Portiamo l'equazione della parabola dalla forma implicita a quella canonica:

y = −(1)/(2)x^2+(3)/(2)

Il coefficiente angolare m della retta tangente alla parabola in un suo punto T è dato da

m = 2a(xT)+b

m = 2·(−(1)/(2))·1 = −1

Equazione della retta tangente in T:

y−yT = m(x−xT)

y−1 = −(x−1)

y = −x+2

o in forma implicita

x+y−2 = 0

emt

Ringraziano: Omega, Pi Greco, littlerabb94
#28949
avt
littlerabb94
Punto

Grazie mille Danni... senza il tuo aiuto avevo fatto l'esercizio con passaggi molto lunghi... ancora molte grazie!

Ringraziano: Danni
#28976
avt
Danni
Sfera

Grazie a te, ciao e buono studio emt

Ringraziano: Omega
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