Fascio di parabole e parabole tangenti, esercizio

Prima di postare leggi le regole del Forum. Puoi anche leggere le ultime discussioni.
#28805
avt
Dreams79
Cerchio

Mi serve una dritta per risolvere un problema di Geometria Analitica sulla posizione reciproca tra rette e parabole. Mi viene chiesto di scrivere l'equazione del fascio di parabole tangente a una retta in un punto noto. Come dovrei fare?

Scrivi l'equazione del fascio di parabole

y = ax^2+bx+c

tangenti alla retta di equazione y = x+2 nel punto di ascissa 1 e determinare quella tangente alla retta di equazione y = 4x−2.

Grazie.

#28843
avt
Danni
Sfera

Il problema ci chiede di determinare il fascio di parabole del tipo

F : y = ax^2+bx+c con a ne 0,b,c∈R

tali che siano tangenti alla retta r di equazione

r : y = x+2

nel punto di tangenza T(x_C,y_C), di ascissa x_(C) = 1. Nel secondo punto ci chiede di ricavare l'equazione della parabola del fascio che è tangente alla retta s di equazione

s : y = 4x−2

Fascio di parabole tangenti alla retta data

Per risolvere il primo punto abbiamo bisogno innanzitutto dell'ordinata del punto di tangenza.

Sappiamo che l'ascissa del punto di tangenza T è x_(T) = 1, per ricavarne l'ordinata basta imporre la condizione di passaggio della retta r nel punto.

T è un punto di r se e solo se le coordinate di T soddisfano l'equazione della retta

T(x_(T),y_(T))∈ r rightarrow y_(T) = x_(T)+2

Poiché x_(T) = 1, la relazione

y_(T) = x_(T)+2

diventa

y_(T) = 1+2 = 3

Il punto di tangenza T è quindi T(x_(T),y_(T)) = (1,3).

Il prossimo passo prevede di imporre il passaggio del fascio di parabole al punto di tangenza: anche in questa circostanza useremo la condizione di appartenenza:

T∈ F rightarrow y_(T) = a x_(T)^2+b x_(T)+c

ossia

3 = a+b+c

Isoliamo c al primo membro

c = 3−a−b

dopodiché sostituiamo l'espressione ottenuta nell'equazione del fascio di parabole

F : y = ax^2+bx+c → y = ax^2+bx+3−a−b

Condizione di tangenza parabola-retta

A questo punto dobbiamo imporre la condizione di tangenza retta-parabola.

A tal proposito bisogna considerare il sistema composto dall'equazione della parabola F e da quella della retta r

y = ax^2+bx+3−a−b ; y = x+2

Procediamo con il metodo di sostituzione, rimpiazzando nella prima equazione y = x+2

x+2 = ax^2+bx+3−a−b ; y = x+2 ; ax^2+(b−1)x+1−a−b = 0 ; y = x+2

La prima equazione è nella sola incognita x e assume il ruolo di risolvente del sistema

ax^2+(b−1)x+1−a−b = 0

Per far sì che r e F siano tangenti richiediamo che il discriminante associato alla risolvente sia uguale a 0

Δ = 0

ossia

(b−1)^2−4·a·(1−a−b) = 0

Sviluppiamo il quadrato di binomio e svolgiamo i calcoli che ne conseguono

b^2−2b+1−4a+4a^2+4ab = 0

Il primo membro è in realtà il quadrato del trinomio 2a+b−1, pertanto la relazione diventa

(2a+b−1)^2 = 0

Ricordando che un quadrato è 0 se e solo se la sua base è 0, l'equazione si semplifica in

2a+b−1 = 0

da cui

b = 1−2a

Sostituiamo l'espressione di b nell'equazione del fascio

y = ax^2+bx+3−a−b

ottenendo

y = ax^2+(1−2a)x+3−a−(1−2a) ; y = ax^2+(1−2a)x+2+a

In definitiva, l'equazione del fascio di parabole F tangenti alla retta r nel punto T è:

F : y = ax^2+(1−2a)x+2+a con a ne 0

Osserviamo che per a = 0 l'equazione del fascio coincide con quella della retta r.

Parabola del fascio tangente alla retta s

Il secondo punto del problema ci chiede di ricavare l'equazione della parabola P∈F tangente alla retta s di equazione

s : y = 4x−2

Siccome P è una parabola del fascio F, la sua equazione si presenta nella forma

P : y = ax^2+(1−2a)x+2+a

Per far sì che P sia tangente a s sfruttiamo ancora una volta la condizione di tangenza.

Consideriamo il sistema composto dall'equazione di P e da quella di s

y = ax^2+(1−2a)x+2+a ; y = 4x−2

Sostituiamo y con 4x−2 nella prima relazione

4x−2 = ax^2+(1−2a)x+2+a ; y = 4x−2 ; ax^2−(3+2a)x+a+4 = 0 ; y = 4x−2

L'equazione nella sola incognita x

ax^2−(3+2a)x+a+4 = 0

è la risolvente del sistema: per fare in modo che P sia tangente a s dobbiamo imporre che il suo discriminante sia uguale a 0

Δ = 0

vale a dire

(−(3+2a))^2−4·a·(a+4) = 0

Siamo agli sgoccioli; da qui in poi è solo una questione di calcoli.

Sviluppiamo il quadrato di binomio dopodiché sommiamo i monomi simili, così da ottenere l'equazione

9−4a = 0 → a = (9)/(4)

Rimpiazziamo a = (9)/(4) nell'equazione

P : y = ax^2+(1−2a)x+2+a

che diventa

P : y = (9)/(4)x^2−(7)/(2)x+(17)/(4)

Conclusioni

L'equazione del fascio di parabole F tangenti alla retta r nel punto T è

F : y = ax^2+(1−2a)x+2+a con a ne 0

L'equazione della parabola P∈F tangente alla retta s è invece

P : y = (9)/(4)x^2−(7)/(2)x+(17)/(4)

Abbiamo finito.

Ringraziano: Omega, Dreams79
  • Pagina:
  • 1