Fascio di parabole e parabole tangenti, esercizio

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Fascio di parabole e parabole tangenti, esercizio #28805

avt
Dreams79
Cerchio
Mi serve una dritta per risolvere un problema di Geometria Analitica sulla posizione reciproca tra rette e parabole. Mi viene chiesto di scrivere l'equazione del fascio di parabole tangente a una retta in un punto noto. Come dovrei fare?

Scrivi l'equazione del fascio di parabole

y= ax^2+bx+c

tangenti alla retta di equazione y=x+2 nel punto di ascissa 1 e determinare quella tangente alla retta di equazione y=4x-2.

Grazie.
 
 

Fascio di parabole e parabole tangenti, esercizio #28843

avt
Danni
Sfera
Il problema ci chiede di determinare il fascio di parabole del tipo

\mathrm{F} \ :\ y=ax^2+bx+c \ \ \ \mbox{con} \ a\ne 0,b,c\in\mathbb{R}

tali che siano tangenti alla retta r di equazione

r \ :\ y=x+2

nel punto di tangenza T(x_C,y_C), di ascissa x_{C}=1. Nel secondo punto ci chiede di ricavare l'equazione della parabola del fascio che è tangente alla retta s di equazione

s\ :\ y=4x-2


Fascio di parabole tangenti alla retta data

Per risolvere il primo punto abbiamo bisogno innanzitutto dell'ordinata del punto di tangenza.

Sappiamo che l'ascissa del punto di tangenza T è x_{T}=1, per ricavarne l'ordinata basta imporre la condizione di passaggio della retta r nel punto.

T è un punto di r se e solo se le coordinate di T soddisfano l'equazione della retta

T(x_{T},y_{T})\in r \ \ \ \leftrightarrow \ \ \ y_{T}=x_{T}+2

Poiché x_{T}=1, la relazione

y_{T}=x_{T}+2

diventa

y_{T}=1+2=3

Il punto di tangenza T è quindi T(x_{T},y_{T})=(1,3).

Il prossimo passo prevede di imporre il passaggio del fascio di parabole al punto di tangenza: anche in questa circostanza useremo la condizione di appartenenza:

T\in \mathrm{F} \ \ \ \leftrightarrow \ \ \ y_{T}=a x_{T}^2+b x_{T}+c

ossia

3=a+b+c

Isoliamo c al primo membro

c=3-a-b

dopodiché sostituiamo l'espressione ottenuta nell'equazione del fascio di parabole

\mathrm{F} \ :\ y=ax^2+bx+c \ \ \ \to \ \ \ y=ax^2+bx+3-a-b

Condizione di tangenza parabola-retta

A questo punto dobbiamo imporre la condizione di tangenza retta-parabola.

A tal proposito bisogna considerare il sistema composto dall'equazione della parabola \mathrm{F} e da quella della retta r

\begin{cases}y=ax^2+bx+3-a-b\\ y=x+2\end{cases}

Procediamo con il metodo di sostituzione, rimpiazzando nella prima equazione y=x+2

\\ \begin{cases}x+2=ax^2+bx+3-a-b\\ y=x+2\end{cases} \\ \\ \\ \begin{cases}ax^2+(b-1)x+1-a-b=0\\ y=x+2\end{cases}

La prima equazione è nella sola incognita x e assume il ruolo di risolvente del sistema

ax^2+(b-1)x+1-a-b=0

Per far sì che r \ \mbox{e} \ \mathbf{F} siano tangenti richiediamo che il discriminante associato alla risolvente sia uguale a 0

\Delta=0

ossia

(b-1)^2-4\cdot a\cdot (1-a-b)=0

Sviluppiamo il quadrato di binomio e svolgiamo i calcoli che ne conseguono

b^2-2b+1-4a+4a^2+4ab=0

Il primo membro è in realtà il quadrato del trinomio 2a+b-1, pertanto la relazione diventa

(2a+b-1)^2=0

Ricordando che un quadrato è 0 se e solo se la sua base è 0, l'equazione si semplifica in

2a+b-1=0

da cui

b=1-2a

Sostituiamo l'espressione di b nell'equazione del fascio

y=ax^2+bx+3-a-b

ottenendo

\\ y=ax^2+(1-2a)x+3-a-(1-2a) \\ \\ y=ax^2+(1-2a)x+2+a


In definitiva, l'equazione del fascio di parabole \mathrm{F} tangenti alla retta r nel punto T è:

\mathrm{F} \ :\ y=ax^2+(1-2a)x+2+a\ \ \ \mbox{con} \ a\ne 0

Osserviamo che per a=0 l'equazione del fascio coincide con quella della retta r.


Parabola del fascio tangente alla retta s

Il secondo punto del problema ci chiede di ricavare l'equazione della parabola \mathrm{P}\in\mathrm{F} tangente alla retta s di equazione

s \ : \ y=4x-2

Siccome \mathrm{P} è una parabola del fascio \mathrm{F}, la sua equazione si presenta nella forma

\mathrm{P} \ :\ y=ax^2+(1-2a)x+2+a

Per far sì che \mathrm{P} sia tangente a s sfruttiamo ancora una volta la condizione di tangenza.

Consideriamo il sistema composto dall'equazione di \mathrm{P} e da quella di s

\begin{cases}y=ax^2+(1-2a)x+2+a\\ y=4x-2\end{cases}

Sostituiamo y con 4x-2 nella prima relazione

\\ \begin{cases}4x-2=ax^2+(1-2a)x+2+a\\ y=4x-2\end{cases} \\ \\ \\ \begin{cases}ax^2-(3+2a)x+a+4=0\\ y=4x-2\end{cases}

L'equazione nella sola incognita x

ax^2-(3+2a)x+a+4=0

è la risolvente del sistema: per fare in modo che \mathrm{P} sia tangente a s dobbiamo imporre che il suo discriminante sia uguale a 0

\Delta =0

vale a dire

(-(3+2a))^2-4\cdot a\cdot (a+4)=0

Siamo agli sgoccioli; da qui in poi è solo una questione di calcoli.

Sviluppiamo il quadrato di binomio dopodiché sommiamo i monomi simili, così da ottenere l'equazione

9-4a=0 \ \ \ \to \ \ \ a=\frac{9}{4}

Rimpiazziamo a=\frac{9}{4} nell'equazione

\mathrm{P} \ :\ y=ax^2+(1-2a)x+2+a

che diventa

\mathrm{P} \ : \ y=\frac{9}{4}x^2-\frac{7}{2}x+\frac{17}{4}


Conclusioni

L'equazione del fascio di parabole \mathrm{F} tangenti alla retta r nel punto T è

\mathrm{F} \ :\ y=ax^2+(1-2a)x+2+a\ \ \ \mbox{con} \ a\ne 0

L'equazione della parabola \mathrm{P}\in\mathrm{F} tangente alla retta s è invece

\mathrm{P} \ :\ y=\frac{9}{4}x^2-\frac{7}{2}x+\frac{17}{4}

Abbiamo finito.
Ringraziano: Omega, Dreams79
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Os