Parabole tangenti a due rette e passanti per un punto

Ciao a tutti, avrei bisogno di aiuto per risolvere questo problema di Geometria Analitica su parabole tangenti a due rette e passanti per un punto. Il testo è questo:

scrivi le equazioni delle parabole y=ax2+bx+c tangenti alle rette 2x-y-5=0 e 2x+y-3=0 e passanti per il punto di ascissa 4 della retta 3x-5y+8=0.

Determina l'equazione della retta t tangente nel punto A di ascissa 3 alla parabola avente il vertice di ordinata minore e l'equazione della retta n normale alla parabola in A e poi calcola l'area del triangolo formato da t,n dall'asse delle ascisse.

Grazie in anticipo

Ciao Erica

Puoi cominciare raccontandoci quello che sai fare e quello che non sai fare in questo esercizio (inutile ripetere cose che eventualmente già sai, sarebbe tempo sprecato per noi e per te).

Se il problema si pone a metà esercizio, e se dovesse servirti un riscontro con i risultati finali, posta svolgimento e calcoli fino al punto in cui riesci a procedere con la risoluzione. In questo modo potremo vedere come concludere l'esercizio stesso.

Il procedimento che ho provato ad usare è il seguente: alla x della retta ho sostituito il valore 4 e mi è venuto .poi ho preso l'equazione generale della parabola cioè e ho fatto in modo che passasse per il punto .

Equazione:

Poi ho preso ancora l'equazione generale della parabola è ho fatto l'intersezione di essa con entrambi le tangenti.

Intersezioni:





poi a queste ho sostituito , il problema è che nono riesco ad andare avanti e trovare .

Ciao Erica, e delta = 0 dov'è?

La condizione di tangenza retta-parabola (e più in generale retta-conica) implica sempre delta = 0

1) tangenza con la prima retta: mettiamo a sistema l'equazione della parabola con l'equazione della prima retta







2) tangenza con la seconda retta:













Un poco di prodotti notevoli e raccoglimenti per fare prima:





L'equazione del fascio di parabole è



Imponiamo l'appartenenza di P(4;4)



Sostituiamo questi valori in a in una delle due equazioni delta ed otteniamo







da cui



Se



l'equazione della parabola è



Se



l'equazione della parabola è



che è quella che interessa l'ultima parte del problema, avendo vertice di ordinata minore.

Coordinate di A:





Equazione della retta t







che è l'equazione della prima retta assegnata.

Equazione della normale in A che è perpendicolare a t





Intersezione B di t con asse x:





Intersezione C di n con asse x





Base BC del triangolo ABC:



Altezza AH del triangolo ABC:



Possiamo infine calcolare l'area del triangolo

grazie mille sei stato fantastico. non sai quanto tempo ho perso per cercare di risolvere questo problema