Parabole tangenti a due rette e passanti per un punto

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#28692
avt
erica
Punto

Ciao a tutti, avrei bisogno di aiuto per risolvere questo problema di Geometria Analitica su parabole tangenti a due rette e passanti per un punto. Il testo è questo:

scrivi le equazioni delle parabole y=ax2+bx+c tangenti alle rette 2x-y-5=0 e 2x+y-3=0 e passanti per il punto di ascissa 4 della retta 3x-5y+8=0.

Determina l'equazione della retta t tangente nel punto A di ascissa 3 alla parabola avente il vertice di ordinata minore e l'equazione della retta n normale alla parabola in A e poi calcola l'area del triangolo formato da t,n dall'asse delle ascisse.

Grazie in anticipo

#28694
avt
Amministratore

Ciao Erica emt

Puoi cominciare raccontandoci quello che sai fare e quello che non sai fare in questo esercizio (inutile ripetere cose che eventualmente già sai, sarebbe tempo sprecato per noi e per te).

Se il problema si pone a metà esercizio, e se dovesse servirti un riscontro con i risultati finali, posta svolgimento e calcoli fino al punto in cui riesci a procedere con la risoluzione. In questo modo potremo vedere come concludere l'esercizio stesso. emt

#28891
avt
erica
Punto

Il procedimento che ho provato ad usare è il seguente: alla x della retta 3x−5y+8 = 0 ho sostituito il valore 4 e mi è venuto y = 4.poi ho preso l'equazione generale della parabola cioè y = ax^2+bx+c e ho fatto in modo che passasse per il punto (4;4).

Equazione: 4 = 16a+4b+c → b = −4a+(c)/(4)+1

Poi ho preso ancora l'equazione generale della parabola è ho fatto l'intersezione di essa con entrambi le tangenti.

Intersezioni:

2x−5 = ax^2+bx+c

−2x+3 = ax^2+bx+c

poi a queste ho sostituito b = −4a+(c)/(4)+1, il problema è che nono riesco ad andare avanti e trovare a,b,c.

Ringraziano: Omega
#28961
avt
Danni
Sfera

Ciao Erica, e delta = 0 dov'è? emt

La condizione di tangenza retta-parabola (e più in generale retta-conica) implica sempre delta = 0

1) tangenza con la prima retta: mettiamo a sistema l'equazione della parabola con l'equazione della prima retta

ax^2+bx+c = 2x−5

ax^2+(b−2)x+c+5 = 0

Δ_1 = (b−2)^2−4a(c+5) = 0

2) tangenza con la seconda retta:

ax^2+bx+c = −2x+3

ax^2+(b+2)x+c−3 = 0

Δ_2 = (b+2)^2−4a(c−3) = 0

Δ_1 = Δ_2

(b−2)^2−4a(c+5) = (b+2)^2−4a(c−3)

(b+2)^2−(b−2)^2+4a(c+5)−4a(c−3) = 0

Un poco di prodotti notevoli e raccoglimenti per fare prima:

(b+2+b−2)(b+2−b+2)+4a(c+5−c+3) = 0

8b+32a = 0 ⇔ b = −4a

L'equazione del fascio di parabole è

y = ax^2−4ax+c = 0

Imponiamo l'appartenenza di P(4;4)

16a−16a+c = 4 ⇔ c = 4

Sostituiamo questi valori in a in una delle due equazioni delta ed otteniamo

(4a−2)^2−4a(4−3) = 0

4(4a^2−4a+1)−4a = 0

4a^2−5a−1 = 0

da cui

a_1 = (1)/(4) U a_2 = 1

Se

a = (1)/(4) ; b = −1 ; c = 4

l'equazione della parabola è

y = (1)/(4)x^2−x+4

Se

a = 1 ; b = −4 ; c = 4

l'equazione della parabola è

y = x^2−4x+4

che è quella che interessa l'ultima parte del problema, avendo vertice di ordinata minore.

Coordinate di A:

A(3;1)

m = 2a(xA)+b = 2(1)(3)−4 = 2

Equazione della retta t

y = m(x−xA)+yA

y = 2(x−3)+1

y = 2x−5

che è l'equazione della prima retta assegnata.

Equazione della normale in A che è perpendicolare a t

y = (−(1)/(2)(x−3)+1

x+2y−5 = 0

Intersezione B di t con asse x:

2x−y−5 = 0 ; y = 0

B((5)/(2);0)

Intersezione C di n con asse x

x+2y−5 = 0 ; y = 0

C(5;0)

Base BC del triangolo ABC:

BC = |xC−xB| = (5)/(2)

Altezza AH del triangolo ABC:

AH = |yA| = 1

Possiamo infine calcolare l'area del triangolo

A_s(ABC) = (1)/(2)BC*AH = (5)/(4)

emt

Ringraziano: Omega, Pi Greco, erica
#29063
avt
erica
Punto

grazie mille sei stato fantastico. non sai quanto tempo ho perso per cercare di risolvere questo problema

Ringraziano: Danni
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