Trovare l'equazione di una retta conoscendo l'area di un triangolo

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Trovare l'equazione di una retta conoscendo l'area di un triangolo #2828

avt
mery
Cerchio
Ciao a tutti ragazzi, potete darmi una mano con questo esercizio sull'equazione di una retta con l'area di un triangolo, in Geometria Analitica?

In pratica devo trovare l'equazione di una retta conoscendo l'area di un triangolo che essa forma. Il testo esatto è questo:

Sia r la retta di equazione y = ax+b, passante per P=(1;-6) e tale che a > 3 e b <-9. Per quali valori di a e b il triangolo delimitato dalle rette x, y, r ha area 16?

Grazie in anticipo
 
 

Trovare l'equazione di una retta conoscendo l'area di un triangolo #2842

avt
Omega
Amministratore
Partiamo dalla generica equazione della retta

y=ax+b

e, sapendo che passa per il punto (1,-6), sappiamo che le coordinate di tale punto devono verificare l'equazione della retta (condizione di passaggio)

-6=a(1)+b

da cui ricaviamo la condizione sui coefficienti a=-b-6. Teniamocela lì buona, per un istante. Veniamo alla seconda condizione (osserva: 2 coefficienti da determinare, 2 condizioni), per la quale si richiede che il triangolo individuato dall'asse delle ascisse, dall'asse delle ordinate e dalla generica retta abbia un'area pari a 16.

Dovrebbe essere chiaro che, qualunque sia tale triangolo, si tratta di un triangolo rettangolo ed avrà cateti di lunghezza pari a

x_{P},y_{Q}

chiamando P,Q rispettivamente i punti di intersezione della retta y=ax+b con l'asse delle ascisse e con l'asse delle ordinate. Dovrebbe essere altrettanto chiaro che tali punti hanno coordinate

P=(x_P,0)
Q=(0,y_Q)

e dunque possiamo calcolare l'area del triangolo come semiprodotto delle lunghezze dei cateti:

A=\frac{OP\cdot OQ}{2}=\frac{x_P\cdot y_Q}{2}=16

Tutto si riduce, adesso, ad esprimere l'ascissa x_P e l'ordinata y_Q in termini dei coefficienti a,b che dobbiamo determinare. Non è difficile: per trovare l'intersezione tra due rette ne mettiamo a sistema le equazioni

Per trovare x_P

y=0
y=ax+b

da cui

x_P=-\frac{b}{a}

Per trovare y_Q

x=0
y=ax+b

da cui

y_Q=b

Non ci resta che sostituire nella formula per il calcolo dell'area le due precedenti uguaglianze:

\left|\frac{\frac{b}{a}b}{2}\right|=16

perché i due fattori sono le lunghezze dei lati del triangolo che quindi vanno prese positive! Dato che la retta passa per (1,-6) e la vogliamo con coefficiente angolare a>3 e ordinata all'origine b<-9, dobbiamo prendere il prodotto precedente positivo e quindi abbiamo

\frac{\frac{b}{a}b}{2}=16

da cui b^2=32a. La semplice conclusione dell'esercizio la lascio a te. emt

Trovare l'equazione di una retta conoscendo l'area di un triangolo #2858

avt
mery
Cerchio
Grazie omega,sei grande........... : emt
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Os