Problema sulle rette: determinare l'area di un quadrilatero

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Problema sulle rette: determinare l'area di un quadrilatero #27041

avt
erica
Punto
Avrei bisogno di una mano per questo problema sulle rette: il problema sulle rette consiste in due richieste, la prima sono riuscita a risolverla, la seconda no, e mi chiede di determinare l'area di un quadrilatero.

Sono dati i punti A(-3;-1),\ B (1;1),\ C\left(1;-\frac{3}{2}\right). Determina le coordinate del punto P simmetrico di C rispetto alla retta AB e l'area del quadrilatero ACBP.


Ecco come ho provato a risolverlo: le coordinate del punto P se non ho fatto errori sono \left(-1;\frac{5}{2}\right)

AC=4,\ \ \ PB=\frac{5}{2}

Per l'altezza ho provato a prendere in considerazione una retta passante per B e per la base AC. Quindi essendo perpendicolare ad AC posso trovare il coefficiente angolare che è uguale ad -\frac{1}{m} e poi avendo il punto B e il coefficiente angolare con questa formula y-y=m(x-x) trovo l'equazione.

Trovata l'equazione ho fatto l'intersezione di questa con la retta passante per AC e ho trovato un punto H che giace sulla base.

Per finire ho fatto la distanza di B da H e ho trovato l'altezza, però facendo i calcoli mi è venuta sbagliata.
 
 

Problema sulle rette: determinare l'area di un quadrilatero #27136

avt
Danni
Sfera
Ciao Erica,

le coordinate di P sono esatte.

Il resto del tuo procedimento è alquanto lungo e non sfrutta importanti proprietà geometriche. AB è asse di PC, quindi perché non prendi in considerazione i due triangoli isosceli APC e BPC che hanno in comune la base PC?

\overline{PC} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}

Equazione della retta PC

\\ \frac{y + \frac{3}{2}}{2} = 1 - x\\ \\ 4x + 2y - 1 = 0

Anziché fare il giro largo, puoi applicare la formula della distanza punto-retta. Se diciamo H il punto di intersezione di AB e PC, risulta:

- per il triangolo APC

\overline{AH} = \frac{|-12-2-1|}{2\sqrt{5}} =  \frac{3\sqrt{5}}{2}

Area di APC:

A_s(APC) = \frac{\overline{PC}\cdot \overline{AH}}{2} = \frac{15}{2}

- Per il triangolo BPC

\\ \overline{BH} = \frac{|4+2-1|}{2\sqrt{5}} =  \frac{\sqrt{5}}{2}\\ \\ \\ A_s(BPC) = \frac{\overline{PC}\cdot \overline{BH}}{2} = \frac{5}{2}\\ \\ A_s(APBC) = A_s(APC)+ A_s(BPC) = 10

Se non conosci la formula della distanza punto-retta, note le coordinate di H

H\left(0;\frac{1}{2}\right)

puoi calcolare le distanze AH e BH con la formula della distanza tra due punti ed arrivi allo stesso risultato.
Ringraziano: Pi Greco, erica
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Os