Problema su circonferenza e fascio di rette

Prima di postare leggi le regole del Forum. Puoi anche leggere le ultime discussioni.

Problema su circonferenza e fascio di rette #24553

avt
Fede
Punto
Potreste aiutarmi a risolvere questo problema sulla circonferenza e su un fascio di rette, per favore?! :(

Il problema chiede_ determina l'equazione della circonferenza che ha centro sulla retta di equazione x-2y-12=0 ed è tangente alla retta di equazione 3y-2x+16=0 nel suo punto di ordinata nulla.

Considera poi il fascio di rette di equazione mx-y-3=0 ; determina il suo centro D e le due rette del fascio passanti per i punti A e B della circonferenza di ascissa 3 .

Grazie in anticipo
 
 

Problema su circonferenza e fascio di rette #24573

avt
Ifrit
Ambasciatore
Ciao Fede emt

Per prima cosa determiniamo il punto di tangenza:

Sappiamo che il punto di tangenza A appartiene alla retta di equazione

s:3y-2x+16=0

Per y=0 possiamo calcolare l'ascissa A:

-2x+16=0\iff x= 8

Il punto di contatto è quindi:

A=(8,0)

Quello che ci manca sono le coordinate del centro C e il raggio.

Un modo per determinarle è calcolare la retta perpendicolare alla retta s e passante per A:

Costruiamo il fascio di rette passante per A:

w: y= m_{w}(x-8)

Questa retta è perpendicolare a s se e solo se m_w=-\frac{1}{m_s}

Ora m_s= \frac{2}{3} da cui m_{w}= -\frac{3}{2}

quindi:

w: y=-\frac{3}{2}(x-8)\iff w: 3x+2y-24=0

Impostiamo il sistema tra la retta w e la retta t

\begin{cases}3x+2y-24=0\\x-2y-12=0 \end{cases}

Risolvendo il sistema otterrai che:

x= 9, y=-\frac{3}{2}

Le coordinate del centro sono:

C\left(9, -\frac{3}{2}\right)

Per calcolare il raggio, calcoliamo la distanza tra il punto C e il punto di contatto con la formula per la distanza tra due punti

r= d(A, C)= \sqrt{(8-9)^2+\left(0+\frac{3}{2}\right)^2}= \frac{\sqrt{13}}{2}

Di conseguenza:

r^2= \frac{13}{4}

L'equazione della circonferenza è:

\left(x-9\right)^2+\left(y+\frac{3}{2}\right)^2=\frac{13}{4}

Facendo i conti, l'equazione si scrive come:

x^2+y^2-18x+3y+80=0

A questo punto determiniamo i punti che ci servono per risolvere la seconda parte dell'esercizio, A e B. Entrambi sono punti della circonferenza pertanto le loro coordinate devono soddisfare l'equazione della circonferenza. In particolare sappiamo che la loro ascissa è 3

Sostituendo nella equazione x=3 nella equazione:

(3-9)^2+\left(y+\frac{3}{2}\right)^2= \frac{13}{4}

Quello che otteniamo è l'equazione che ci permettono di determinare l'ordinata.... Ma la l'equazione è impossibile :(
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Danni

Re: Problema su circonferenza e fascio di rette #24622

avt
Danni
Sfera
Ciao Fede emt

Sempre che siano esatte le equazioni delle due rette date, una circonferenza di centro

C\left({9};- \frac{3}{2}\right)

e raggio

r = \frac{\sqrt{13}}{2}

non potrà mai avere punti di ascissa 3
Ti basta un disegnino per rendertene conto, oppure un semplice calcolo algebrico ti porta ad un'equazione senza soluzioni reali come ha dimostrato Ifrit.

Se hai riportato esattamente i dati iniziali, è possibile che quel 3 di ascissa sia invece un 8 stampato male emt

Intanto il fascio di rette di equazione

mx - y - 3 = 0

ha come generatrici le rette di equazione

x = 0

y + 3 = 0

che impostando un sistema danno le coordinate di D:

D(0;-3)

Se (se) l'ascissa di A e B è 8,
sostitituita nell'equazione della circonferenza dà

y^2 + 3y = 0

y(y + 3) = 0

Coordinate di A

A(8;0)

Coordinate di B

B(8;-3)

Equazione della retta per D,A

3x - 8y - 24 = 0

Equazione della retta per D,B

y = - 3

Controlla bene i dati e se hai a disposizione le soluzioni uniscile sempre alla domanda in modo che chi risolve possa risalire all'errore.

Ciao* emt
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Fede
  • Pagina:
  • 1
Os