Fascio di rette e area di un triangolo formato con gli assi, esercizio

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Fascio di rette e area di un triangolo formato con gli assi, esercizio #24188

avt
Fede
Punto
Potreste per favore aiutarmi a svolgere questo problema con un fascio di rette? Devo determinare una particolare retta del fascio che forma con gli assi cartesiani un triangolo di una certa area...Grazie!

Dato il fascio di rette di equazione

2(k+1)x + (k-1)y -11k -1= 0

scrivi l'equazione della retta r del fascio, relativa ad un valore positivo del parametro k, che forma con gli assi cartesiani nel primo quadrante un triangolo di area 98/3 .
 
 

Fascio di rette e area di un triangolo formato con gli assi, esercizio #24212

avt
Omega
Amministratore
Ringraziano: Pi Greco, Danni

Re: Fascio di rette e area di un triangolo formato con gli assi, esercizio #24349

avt
Danni
Sfera
Uelà, i problemini sui fasci di rette che mi piacciono tanto emt

Ciao Fede, questa retta appartenente al fascio ha coefficiente angolare

m(r) = - \frac {a}{b} = \frac {2(k + 1)}{1 - k} \cap k\neq 1

Poiché il triangolo deve stare nel primo quadrante, il coefficiente angolare è negativo:

\frac{k + 1}{1 - k} < 0

verificata per

k < - 1  \cup k > 1

Poiché si richiede un valore positivo di k, imponiamo subito

k > 1

La retta interseca l'asse y (x = 0)

\begin{cases}x = 0 \\ y = \frac{11k + 1}{k - 1}\end{cases}

A(0;\frac{11k + 1}{k - 1})

La retta interseca l'asse x (y = 0)

\begin{cases}x = \frac{11k + 1}{2(k + 1)} \\ y = 0 \end{cases}

B(\frac{11k + 1}{2(k + 1)};0)

Poiché per ipotesi deve essere

k > 1

possiamo eliminare i valori assoluti e calcolare l'area del triangolo rettangolo AOB:

A_s(AOB) = \overline{OA}\cdot \overline{OB} = \frac{196}{3}

\frac{(11k + 1)^2}{k^2 - 1} = \frac{392}{3}

363k^2 + 66k + 3 = 392k^2 - 392

29k^2 - 66k - 395 = 0

Tenendo conto della sola soluzione positiva risulta

k = \frac{33 + 112}{29} = 5

Per k = 5 sostituito nell'equazione del fascio, si ha la retta di equazione

12x + 4y - 56 = 0

ovvero

3x + y - 14 = 0

che con gli assi coordinati forma nel primo quadrante un triangolo di area 98/3

Infatti:

14\cdot \frac{14}{6} = \frac{98}{3}

Ciao* emt
Ringraziano: Omega, Pi Greco, LittleMar, Ifrit
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Os