Luoghi geometrici definiti con equazioni di secondo grado, rappresentazione nel piano

Prima di postare leggi le regole del Forum. Puoi anche leggere le ultime discussioni.

Luoghi geometrici definiti con equazioni di secondo grado, rappresentazione nel piano #24053

avt
Gian
Punto
Ho bisogno di voi per risolvere un esercizio di geometria analitica sui luoghi geometrici del piano. Ho due equazioni di secondo grado e mi viene chiesto di studiare i luoghi geometrici che descrivono.

Studiare i luoghi geometrici dei punti del piano descritto dalle seguenti equazioni di secondo grado:

\\ \Gamma_1:\ x^2-4y^2=4 \\ \\ \Gamma_2: \ xy=-9

Grazie.
 
 

Luoghi geometrici definiti con equazioni di secondo grado, rappresentazione nel piano #24075

avt
Ifrit
Amministratore
In generale un equazione di secondo grado in due incognite

ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0

descrive, al variare dei coefficienti, diversi luoghi geometrici di punti del piano cartesiano, che sono raggruppati sotto il nome di coniche.

Per poter classificare il luogo descritto dalla conica bisogna considerare il numero reale

\Delta=b^2-4ac

detto discriminante della conica, e attenersi al seguente schema:

- se \Delta<0, allora l'equazione descrive un' ellisse;

- se \Delta=0, allora l'equazione descrive una parabola;

- se \Delta>0, allora l'equazione descrive un'iperbole.

Dopo queste considerazioni generali, passiamo agli esercizi.

Consideriamo l'equazione

\Gamma_1: \ x^2-4y^2=4

confrontiamola con l'equazione generica così da determinare a,\ b \ \mbox{e} \ c

a=1 \ \ ;\ \ b=0 \ \ ; \ \ c=-4

Il discriminante di \Gamma_1 è

\Delta=b^2-4ac=-4\cdot 1\cdot(-4)=16>0

di conseguenza \Gamma_1 è un'iperbole.

Per riportare l'equazione dell'iperbole in forma normale

\frac{x^2}{A^2}-\frac{y^2}{B^2}=1

dividiamo per 4 i due membri dell'equazione di \Gamma_1

\Gamma_1:\ \frac{x^2}{4}-y^2=1

da cui segue che

\\ A^2=4 \ \ \to \ \ A=2\\ \\ B^2=1 \ \ \to \ \ B=1

A=2 misura il semiasse trasverso, mentre B=1 individua la misura del semiasse non trasverso.


Vertici dell'iperbole

Poiché A>B, i vertici dell'iperbole hanno coordinate

V_{1}(-A,0)=(-2,0) \ \ \ ;\ \ \ V_2(A,0)=(2,0)


Fuochi dell'iperbole

Per ricavare i fuochi dell'iperbole abbiamo bisogno di quella che prende il nome di semidistanza focale ed è definita come la radice quadrata della somma tra A^2 \ \mbox{e} \ B^2

C=\sqrt{A^2+B^2}=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}

Grazie a questo valore possiamo calcolare le coordinate dei fuochi:

F_1(-C,0)=(-\sqrt{5},0) \ \ ; \ \ F_2(C,0)=(\sqrt{5},0)


Asintoti dell'iperbole

Le equazioni degli asintoti dell'iperbole \Gamma_1 sono date:

y=\pm\frac{B}{A}x \ \ \ \to \ \ \ y=\pm\frac{1}{2}x


Eccentricità

L'eccentricità dell'iperbole, ossia la grandezza che ne misura la deformazione, si calcola con la formula

e=\frac{C}{A}=\frac{\sqrt{5}}{2}

Con queste informazioni possiamo tracciare l'iperbole \Gamma_1 nel piano cartesiano.

IperboleGian


Consideriamo l'equazione di \Gamma_2

\Gamma_2:\ xy=-9

Essa si presenta nella forma

xy=k \ \ \ \mbox{con} \ k=-9

per cui rappresenta un'iperbole equilatera riferita ai propri asintoti.

Il suo centro è situato nell'origine degli assi e poiché k<0, \ \Gamma_2 interseca la bisettrice del secondo-quarto quadrante.


Coordinate dei fuochi

Le coordinate dei fuochi sono date dalle relazioni

\\ F_1(-\sqrt{-2k},\sqrt{-2k})=(-\sqrt{18},\sqrt{18})=(-3\sqrt{2},3\sqrt{2}) \\ \\ F_2(\sqrt{-2k},-\sqrt{-2k})=(\sqrt{18},-\sqrt{18})=(3\sqrt{2},-3\sqrt{2})

In questa circostanza, la semidistanza focale è data dalla formula

\mbox{semidistanza focale}=2\sqrt{|k|}=2\sqrt{9}=6


Coordinate dei vertici

Le coordinate dei vertici dell'iperbole equilatera \Gamma_2 sono:

\\ V_1(-\sqrt{-k},\sqrt{-k})=(-\sqrt{9},\sqrt{9})=(-3,3) \\ \\ V_2(\sqrt{-k},-\sqrt{-k})=(\sqrt{9},-\sqrt{9})=(3,-3)

Si noti che in questa caso il semiasse trasverso è dato da

\mbox{semiasse trasverso}=\sqrt{2|k|}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}


Asintoti

Un'iperbole di equazione xy=k ha per asintoti gli assi coordinati

x=0 \ \ \ ; \ \ \ y=0

di conseguenza sono anche gli asintoti di \Gamma_2.

Tutte queste informazioni sono sufficienti a tracciare l'iperbole.

IperboleequilateraGian
Ringraziano: Omega, Pi Greco
  • Pagina:
  • 1
Os