Circonferenza con retta del centro e retta tangente

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Circonferenza con retta del centro e retta tangente #22233

avt
paolo.berga
Punto
Ciao a tutti, avrei un problema da risolvere sulle circonferenze: devo trovare una circonferenza conoscendo la retta tangente in un punto e la retta del centro.

Un punto O di una circonferenza C è di coordinate (0,0). In O, la circonferenza è tangente alla retta r:\ 2x+3y=0. Il centro della circonferenza C si trova sulla retta s:\ x+2y-2=0. Trovare la formula della circonferenza ed il centro di essa.

Grazie mille in anticipo
 
 

Circonferenza con retta del centro e retta tangente #22235

avt
Danni
Sfera
Ciao Paolo, come sempre in questi casi suggerisco di tenere da parte le formule della circonferenza. Ci sei? Cominciamo. emt

Il centro della circonferenza appartiene alla retta s ed anche alla retta perpendicolare (n) alla tangente (r) in O

Il coefficiente angolare della normale (n) è reciproco ed opposto rispetto al coefficiente angolare della tangente r (condizione di perpendicolarità tra rette)

m(r) = -\frac{2}{3}

m(n) = \frac{3}{2}

La retta n ha quindi equazione

y = \frac{3}{2}x

Impostiamo un sistema con le equazioni delle rette n ed s

\begin{cases}x + 2y - 2 = 0 \\ y = \frac{3}{2}x\end{cases}

che risolviamo ottenendo le coordinate del centro C della circonferenza:

C(\frac{1}{2};\frac{3}{4})

La misura del raggio è data dalla misura del segmento OC:

\overline{OC} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{9}{16}} = \sqrt{\frac{13}{16}} = \frac{\sqrt{13}}{4}

L'equazione della circonferenza è data da

(x - xC)^{2} + (y - yC)^{2} = \overline{OC}^{2}

(x - \frac{1}{2})^{2} + (y - \frac{3}{4})^{2} = \frac{13}{16}

x^{2} + y^{2} - x - \frac{3}{2}y = 0

come era logico aspettarsi perché la circonferenza passa per l'origine e la sua equazione è quindi priva di termine noto.

Puoi anche scrivere l'equazione come

2x^{2} + 2y^{2} - 2x - 3y = 0

Ciao* emt
Ringraziano: Omega, Pi Greco, LittleMar, Ifrit, paolo.berga
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Os