Risoluzione di un'equazione con distanze tra punti in Geometria Analitica

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Risoluzione di un'equazione con distanze tra punti in Geometria Analitica #21454

avt
FAQ
Frattale
Dovrei determinare il luogo geometrico dei punti del piano che soddisfano una particolare equazione. Ho letto la soluzione e il luogo geometrico coincide con una circonferenza, ma non capisco perché.

Dati i punti A(-1,0) e B(2,5), determinare il luogo geometrico dei punti K(x,y) del piano che soddisfano l'equazione

2\overline{AK}-\overline{BK}=0

dove \overline{AK}\ \mbox{e} \ \overline{BK} indicano rispettivamente la lunghezza del segmento AK e quella di BK.
 
 

Risoluzione di un'equazione con distanze tra punti in Geometria Analitica #22092

avt
Ifrit
Amministratore
Dobbiamo determinare il luogo geometrico dei punti del piano K(x,y) che soddisfano l'equazione

2\overline{AK}-\overline{BK}=0

in cui A\ \mbox{e} \ B sono rispettivamente i punti

\\ A(x_{A},y_{A})=(-1,0) \\ \\ B(x_{B},y_{B})=(2,5)

mentre

\bullet \ \ \ \overline{AK} è la lunghezza del segmento di estremi A\ \mbox{e} \ K;

\bullet \ \ \ \overline{BK} è la lunghezza del segmento di estremi B\ \mbox{e}\ K.

Calcoliamo \overline{AK}\ \mbox{e} \ \overline{BK} usando la formula della distanza tra punti

\\ \overline{AK}=\sqrt{(x_{K}-x_{A})^2+(y_{K}-y_{A})^2}=\\ \\ =\sqrt{(x-(-1))^2+y^2}=\\ \\ =\sqrt{(x+1)^2+y^2}=

Una volta sviluppato il quadrato di binomio, la lunghezza di AK diventa

=\sqrt{x^2+y^2+2x+1}

Procediamo allo stesso modo per BK

\\ \overline{BK}=\sqrt{(x_{K}-x_{B})^2+(y_{K}-y_{B})^2}=\\ \\ =\sqrt{(x-2)^2+(y-5)^2}=

Sviluppiamo i quadrati dei due binomi e sommiamo i monomi simili

\\ =\sqrt{x^2-4x+4+y^2-10y+25}= \\ \\ =\sqrt{x^2+y^2-4x-10y+29}

Abbiamo tutti gli elementi per scrivere la relazione

2\overline{AK}-\overline{BK}=0

nell'equazione irrazionale

2\sqrt{x^2+y^2+2x+1}-\sqrt{x^2+y^2-4x-10y+29}=0

Isoliamo il primo radicale al primo membro

2\sqrt{x^2+y^2+2x+1}=\sqrt{x^2+y^2-4x-10y+29}

ed eleviamo al quadrato

\left(2\sqrt{x^2+y^2+2x+1}\right)^2=\left(\sqrt{x^2+y^2-4x-10y+29}\right)^2 \\ \\ 4(x^2+y^2+2x+1)=x^2+y^2-4x-10y+29

A questo punto portiamo tutti i termini al primo membro e semplifichiamo

3x^2+3y^2+12x+10y-25=0

Abbiamo ottenuto l'equazione di una circonferenza non ancora espressa in forma normale: per scriverla in forma canonica bisogna dividere per 3:

\\ x^2+y^2+\frac{12}{3}x+\frac{10}{3}y-\frac{25}{3}=0\\ \\ \\ x^2+y^2+4x+\frac{10}{3}y-\frac{25}{3}=0

L'equazione si presenta nella forma

x^2+y^2+ax+by+c=0

dove i coefficienti a,\, b,\, c sono:

a=4 \ \ \ ,\ \ \ b=\frac{10}{3}\ \ \ , \ \ \ c=-\frac{25}{3}

Disponiamo di tutti gli elementi per calcolare le coordinate del centro della circonferenza

C(x_{C},y_{C})=\left(-\frac{a}{2},\ -\frac{b}{2}\right)=\left(-\frac{4}{2},\ -\frac{\tfrac{10}{3}}{2}\right)= \\ \\ \\ =\left(-2,\ -\frac{10}{6}\right)=\left(-2,\ -\frac{5}{3}\right)

e il raggio

\\ R=\sqrt{\frac{a^2}{4}+\frac{b^2}{4}-c}= \\ \\ \\ =\sqrt{\frac{4^2}{4}+\frac{\left(\tfrac{10}{3}\right)^2}{4}-\left(-\frac{25}{3}\right)}=\\ \\ \\ =\sqrt{\frac{136}{9}}=\frac{2\sqrt{34}}{3}

In definitiva, i punti K che soddisfano l'equazione

2\overline{AK}-\overline{BK}=0

costituiscono la circonferenza di centro C\left(-2,\ -\frac{5}{3}\right) e raggio R=\frac{2\sqrt{34}}{3}.
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Danni
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Os