Risoluzione di un'equazione con distanze tra punti in Geometria Analitica

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Risoluzione di un'equazione con distanze tra punti in Geometria Analitica #21454

avt
FAQ
Frattale
Dovrei determinare il luogo geometrico dei punti del piano che soddisfano una particolare equazione. Ho letto la soluzione e il luogo geometrico coincide con una circonferenza, ma non capisco perché.

Dati i punti A(-1,0) e B(2,5), determinare il luogo geometrico dei punti K(x,y) del piano che soddisfano l'equazione

2AK-BK = 0

dove AK e BK indicano rispettivamente la lunghezza del segmento AK e quella di BK.
 
 

Risoluzione di un'equazione con distanze tra punti in Geometria Analitica #22092

avt
Ifrit
Amministratore
Dobbiamo determinare il luogo geometrico dei punti del piano K(x,y) che soddisfano l'equazione

2AK-BK = 0

in cui A e B sono rispettivamente i punti

A(x_(A),y_(A)) = (-1,0) ; B(x_(B),y_(B)) = (2,5)

mentre

• AK è la lunghezza del segmento di estremi A e K;

• BK è la lunghezza del segmento di estremi B e K.

Calcoliamo AK e BK usando la formula della distanza tra punti

AK = √((x_(K)-x_(A))^2+(y_(K)-y_(A))^2) = √((x-(-1))^2+y^2) = √((x+1)^2+y^2) =

Una volta sviluppato il quadrato di binomio, la lunghezza di AK diventa

= √(x^2+y^2+2x+1)

Procediamo allo stesso modo per BK

BK = √((x_(K)-x_(B))^2+(y_(K)-y_(B))^2) = √((x-2)^2+(y-5)^2) =

Sviluppiamo i quadrati dei due binomi e sommiamo i monomi simili

= √(x^2-4x+4+y^2-10y+25) = √(x^2+y^2-4x-10y+29)

Abbiamo tutti gli elementi per scrivere la relazione

2AK-BK = 0

nell'equazione irrazionale

2√(x^2+y^2+2x+1)-√(x^2+y^2-4x-10y+29) = 0

Isoliamo il primo radicale al primo membro

2√(x^2+y^2+2x+1) = √(x^2+y^2-4x-10y+29)

ed eleviamo al quadrato

(2√(x^2+y^2+2x+1))^2 = (√(x^2+y^2-4x-10y+29))^2 ; 4(x^2+y^2+2x+1) = x^2+y^2-4x-10y+29

A questo punto portiamo tutti i termini al primo membro e semplifichiamo

3x^2+3y^2+12x+10y-25 = 0

Abbiamo ottenuto l'equazione di una circonferenza non ancora espressa in forma normale: per scriverla in forma canonica bisogna dividere per 3:

x^2+y^2+(12)/(3)x+(10)/(3)y-(25)/(3) = 0 ; x^2+y^2+4x+(10)/(3)y-(25)/(3) = 0

L'equazione si presenta nella forma

x^2+y^2+ax+by+c = 0

dove i coefficienti a, , b, , c sono:

a = 4 , b = (10)/(3) , c = -(25)/(3)

Disponiamo di tutti gli elementi per calcolare le coordinate del centro della circonferenza

C(x_(C),y_(C)) = (-(a)/(2), -(b)/(2)) = (-(4)/(2), -((10)/(3))/(2)) = (-2, -(10)/(6)) = (-2, -(5)/(3))

e il raggio

R = √((a^2)/(4)+(b^2)/(4)-c) = √((4^2)/(4)+(((10)/(3))^2)/(4)-(-(25)/(3))) = √((136)/(9)) = (2√(34))/(3)

In definitiva, i punti K che soddisfano l'equazione

2AK-BK = 0

costituiscono la circonferenza di centro C(-2, -(5)/(3)) e raggio R = (2√(34))/(3).
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Danni
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Os