Equazione ellisse conoscendo un semiasse e una retta tangente

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Equazione ellisse conoscendo un semiasse e una retta tangente #19495

avt
ragazza
Punto
Ciao ragazzi, come trovo l'equazione di un'ellisse riferita al centro e agli assi conoscendo un semiasse e una retta tangente? Verifica in agguato....emt

Dell'ellisse so che il semiasse sull'asse y misura 1 ed é tangente alla retta di equazione 2x+3y-6=0.

Grazie in anticipo, ho scoperto che le vostre spiegazioni sono più comprensibili di quelle del mio libro di testo!

Grazie ancora
 
 

Re: Equazione ellisse conoscendo un semiasse e una retta tangente #19514

avt
Danni
Sfera
Ciao ragazza emt

Scriviamo l'equazione dell'ellisse nella forma

b^{2}x^{2} + a^{2}y^{2} = a^{2}b^{2}

Risulta

b^{2} = 1

Imponiamo

a^{2} = h

e riscriviamo l'equazione dell'ellisse:

x^{2} + hy^{2} - h = 0

La retta tangente ha equazione

y = \frac {2(3 - x)}{3}

Sostituiamo nell'equazione dell'ellisse:

x^{2} + \frac{4h}{9}(x^{2} - 6x + 9) - h = 0

9x^{2} + 36h + 4hx^{2}} - 24hx - 9h = 0

(9 - 4h)x^{2} - 24hx + 27h = 0

Per la condizione di tangenza tra retta e ellisse imponiamo

\frac{\Delta}{4} = 0

\frac {\Delta}{4} = 144h^{2} - 27h(9 + 4h) = 9h(4h - 27) = 0

ed è ovviamente

a^{2} = h = \frac{27}{4}

L'equazione dell'ellisse in forma canonica è

\frac{4}{27}x^{2} + y^{2} = 1

ciao* emt
Ringraziano: Omega, Pi Greco, ragazza
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Os