Triangoli e coordinate dei vertici, area e circocentro

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Triangoli e coordinate dei vertici, area e circocentro #1914

avt
fabrix
Punto
Buongiorno! In un problema sui triangoli e sulle coordinate dei vertici, in cui devo calcolare tra l'altro l'area e le coordinate del circocentro.

L'esercizio chiede

Dati i punti A(-2;2) e B(1;8) determina:

a) il punto C di ordinata -1 in modo che il triangolo ABC sia rettangolo in A;

b) il punto D di ascissa -1 in modo che il triangolo ABD sia isoscele con la base su AB;

c) il rapporto tra le aree dei triangoli ABC e ABD;

d) il circocentro dei triangoli ABC e ABD

Mi aiutereste? Grazie in anticipo..
 
 

Triangoli e coordinate dei vertici, area e circocentro #1947

avt
Ifrit
Ambasciatore
Ciao fabrix, benvenuto nel forum di Youmath!! emt

Iniziamo scrivendo i dati:

A(-2,2)
B(1, 8 )

Il punto C ha ordinata 1 di conseguenza è della forma: C(x, -1), dove x è una incognita e rappresenta l'ascissa.

Innanzitutto calcoliamo la distanza tra i due punti A,B:

AB=\sqrt{(-2-1)^2+(2-8 )^2}= \sqrt{9+36}=\sqrt{45}= 3\sqrt{5}

Poi le distanze AC e BC:

AC= \sqrt{(-2-x)^2+(2+1)^2}= \sqrt{(-2-x)^2+9}

BC= \sqrt{(1-x)^2+(8+1)^2}= \sqrt{(1-x)^2+81}

Affinché il triangolo ABC sia retto in A dobbiamo verificare il teorema di Pitagora:

AB^2+AC^2= BC^2

Sostituendo i valori ottenuti in precedenza:

45+(-2-x)^2+9= (1-x)^2+81

Sviluppiamo i conti otteniamo

-24+6x=0\implies x= 4

Il punto C ha coordinate:

C(4, -1)

e grazie a ciò sappiamo che:

AC= 3\sqrt{5}
_______________________________________________

Per determinare il punto di di coordinate D(-1, y) di modo che

ABD sia un triangolo isoscele, dobbiamo imporre che AD=BD, dove

AD=\sqrt{(-2+1)^2+(2-y)^2}=\sqrt{1+(2-y)^2}

BD=\sqrt{(1+1)^2+(8-y)^2}=\sqrt{4+(8-y)^2}

Da AD=BD segue l'equazione irrazionale:

\sqrt{4+(8-y)^2}=\sqrt{1+(2-y)^2}

elevando al quadrato ambo i membri:

4+(8-y)^2= 1+(2-y)^2

svolgendo i conti:

63-12y=0\implies y=\frac{21}{4}

Il punto D ha coordinate D(-1, 21/4)

Calcoliamo le aree dei due triangoli.

Per il triangolo ABC è immediato emt

A_{ABC}=\frac{AB\, AC}{2}= \frac{3\sqrt{5}\times 3\sqrt{5}}{2}= \frac{45}{2}

Per l'altro triangolo la situazione è un po' più delicata infatti dobbiamo determinare il punto medio M della base AB e calcolare la distanza tra M e il vertice D:

M=\left(\frac{-2+1}{2}, \frac{2+8}{2}\right)= \left(-\frac{1}{2}, 5\right)

Calcoliamo la distanza tra M e D, rappresenterà l'altezza:

MD=\sqrt{\left(-\frac{1}{2}+1\right)^2+\left(5-\frac{21}{4}\right)^2}=\frac{\sqrt{5}}{4}

Abbiamo quindi la base e l'altezza:

A_{ABD}= \frac{AB\,\,\, MD}{2}= \frac{3\sqrt{5}\times \frac{\sqrt{5}}{4}}{2}=\frac{15}{8}

Il rapporto tra le aree è quindi:

\frac{A_{ABC}}{A_{ABD}}=\frac{45}{2}\times \frac{8}{15}=12.

L'ultimo punto lo lascio a te, provaci e se ci sono problemi fammi sapere. emt
Ringraziano: Omega, frank094
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