Problema su una parabola tangente ad una retta

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Problema su una parabola tangente ad una retta #18888

avt
Mindy
Punto
Ciao, dovrei svolgere un problema sulle rette tangenti ad una parabola, ma non so come fare.

La parabola y=-x^2+7x+c è tangente alla retta r di equazione x-y-1=0

1) scrivere l'equazione della parabola;

2) calcolare le coordinate dei vertici del rettangolo, inscritto nella parte di piano compresa tra l'arco di parabola i cui punti hanno ordinata positiva e l'asse x, il cui perimetro misura 6.

3) verificare che la parabola è tangente alla retta r in uno dei vertici del rettangolo.


Io ho trovato l'equazione della parabola che è y=-x^2+7x-10 mettendo a sistema la parabola e la retta e il delta=0, ma per i punti 2 e 3 non so proprio da dove iniziare.

Grazie!
 
 

Re: Problema su una parabola tangente ad una retta #18905

avt
Danni
Sfera
Ciao Mindy!

1) Va benissimo.

2) Disegna la parabola che ha vertice

V\left(\frac{7}{2};\frac{9}{4}\right)

ed interseca l'asse x in A(2;0) \vee B(5;0).

Considera una qualunque retta parallela all'asse x, di equazione

y = t

con

0 < t < 9/4

perché la retta si sposta dall'asse x al vertice della parabola, estremi non compresi o il rettangolo degenera in segmento.

Interseca parabola e retta:

\begin{cases}y = - x^{2} + 7x - 10 \\y = t\end{cases}

da cui

\\ x^{2} - 7x + 10 + t = 0\\ \\ x_{1,2} = \frac{7 \pm \sqrt{9 - 4t}}{2}

La dimensione orizzontale, diciamo PQ, del rettangolo è data dalla differenza delle ascisse. Possiamo non considerare il valore assoluto perché sappiamo quale delle due soluzioni è maggiore e quale minore.

\\ PQ = x_{2} - x_{1}\\ \\ PQ = \frac{7 + \sqrt{9 - 4t}}{2} - \frac{7 - \sqrt{9 - 4t}}{2}\\ \\ PQ = \sqrt{9 - 4t}

La dimensione verticale h del rettangolo misura

\\ h = t\\ \\ PQ + t = \mbox{semiperimetro} = 3

e adesso impostiamo l'equazione:

\\ \sqrt{9 - 4t} + t = 3\\ \\ \sqrt{9 - 4t} = 3 - t

Non dobbiamo considerare altre limitazioni (la positività del secondo membro è implicita nelle condizioni date) ed eleviamo al quadrato:

\\ 9 - 4t = 9 - 6t + t^{2}\\ \\ t^{2} - 2t = 0\\ \\ t(t - 2)

da cui ricaviamo t = 2.

L'equazione richiesta è quindi y = 2


3) I vertici superiori del rettangolo hanno coordinate

P(3;2) \vee Q(4;2)

Il punto P appartiene anche alla retta r di equazione

y = x - 1

e questo dimostra che la parabola e la retta r sono tangenti in P.
Ringraziano: Pi Greco, Mindy
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Os