Equazioni delle tangenti all'iperbole passanti per un punto

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Equazioni delle tangenti all'iperbole passanti per un punto #18702

avt
ragazza
Punto
Ciao, avrei un'altro rompicapo, un esercizio sulle equazioni delle tangenti ad un'iperbole passanti per un punto.

Riguarda l'iperbole di equazione

x^2 - \frac{y^2}{2} = 1

e dovrei trovare l'equazione delle tangenti passanti per il punto (1,1) e le coordinate dei punti di contatto.

Aiuto, per favore! emt

@Danni: per curiosità, sei uno studente, un docente o un appassionato di Matematica?

Grazie
 
 

Equazioni delle tangenti all'iperbole passanti per un punto #18733

avt
Danni
Sfera
Ciao* emt ti consiglio di tenere aperto il formulario sull'iperbole, si rivelerà molto utile!

Purtroppo il punto non appartiene alla conica, quindi non possiamo utilizzare la formula di sdoppiamento e dobbiamo ricorrere al delta della risolvente.

Notiamo che un vertice dell'iperbole ha coordinate

V_{1}(1;0)

mentre il fascio proprio di rette che dobbiamo considerare ha centro

P(1;1)

Una tangente alla conica è quindi la retta verticale di equazione

x = 1

L'equazione del fascio è

y = m(x - xP) + yP

y = mx - m + 1

Ora riscriviamo l'equazione dell'iperbole:

2x^{2} - y^{2} - 2 = 0

e sostituiamo il valore di y:

2x^{2} - (mx - m + 1)^{2} - 2 = 0

2x^{2} - m^{2}x^{2} - m^{2} - 1 + 2m^{2}x - 2mx + 2m - 2 = 0

(2 - m^{2})x^{2} - 2m(1 - m)x - (m^{2}- 2m + 3)

Di questa equazione risolvente imponiamo \Delta_{m} = 0 per la condizione di tangenza:

\frac{\Delta_{m}}{4} = m^{2}(1 + m^{2} - 2m) + (2 - m^{2})(m^{2} - 2m + 3) = 0

Lascio a te i calcoli che sono facili. Risulta:

2m - 3 = 0

m = 3/2

La seconda tangente ha quindi equazione

y = \frac{3}{2}x - \frac{1}{2}

La prima tangente è una verticale e come tale non è rappresentata dall'equazione

y = m(x - xP) + yP

in quanto l'equazione del fascio sotto forma esplicita esclude tutte le parallele all'asse y e lo stesso asse y che hanno coefficiente angolare m non calcolabile.

Determiniamo infine le coordinate dei punti di contatto.

La retta di equazione x = 1 è tangente all'iperbole nel vertice

V_{1}(1;0)

Per le coordinate del secondo punto di contatto, sostituiamo il valore di m nella risolvente (utilizziamo la prima impostata, in cui la sostituzione è più semplice)

2x^{2} - (mx - m + 1)^{2} - 2 = 0

con

m = 3/2

risulta

2x^{2} - (\frac{3}{2}x - \frac {1}{2})^{2} - 2 = 0

da cui facilmente

8x^{2}- 9x^{2} - 1 + 6x - 8 = 0

x^{2} - 6x + 9 = 0

(x - 3)^{2} = 0

L'ascissa del punto di contatto è

x = 3

L'ordinata è ricavabile dall'equazione della tangente:

y = \frac{3}{2}x - \frac{1}{2}

ed otteniamo

y = 4

Dunque

V_{1}(1;0)

T(3;4)

ciao* emt
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Ifrit, ragazza

Equazioni delle tangenti all'iperbole passanti per un punto #18769

avt
Danni
Sfera
emt emt emt

curiosità legittima e soddisfatta: sono un insegnante di Matematica (Scuole Superiori)

ciao* emt
Ringraziano: Omega
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Os