Equazione di una parabola con vertice e misura di una corda che intercetta

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Equazione di una parabola con vertice e misura di una corda che intercetta #18553

avt
ragazza
Punto
Ciao a tutti, vi chiedo una mano su un esercizio che chiede di trovare l'equazione di una parabola avendo il vertice e la misura di una corda.

Sapreste dirmi come si determina l'equazione di una parabola conoscendo il vertice, che si trova nel punto (0,2), e sapendo che essa intercetta sulla retta di equazione y=x una corda che misura 3sqrt(2)?

Non so da dove cominciare...grazie e W lo YouMath Forum! emt
Ringraziano: Omega
 
 

Equazione di una parabola con vertice e misura di una corda che intercetta #18569

avt
Omega
Amministratore
Di nuovo ciao, Ragazza emt

Dopo aver disegnato uno schizzetto ci si rende subito conto che la parabola richiesta può essere di due tipi: ad asse di simmetria verticale e rivolta verso il basso oppure ad asse di simmetria orizzontale e rivolta verso destra. Ti spiego come procedere nel primo caso.

La generica equazione di una parabola ad asse verticale è della forma

y=ax^2+bx+c

e le coordinate del vertice si determinano con le formule seguenti

\left(x_V,y_V\right)=\left(-\frac{b}{2a},-\frac{\Delta}{4a}\right)

dove \Delta=b^2-4ac. Sapendo che

(x_V,y_V)=(0,2)

ricaviamo due equazioni, una per ciascuna coordinata del vertice

x_V=0\to b=0

y_V=2\to -\frac{\Delta}{4a}=2\to b^2-4ac=-8a

ed essendo b=0 e necessariamente a\neq 0 - altrimenti non abbiamo a che fare con una parabola, si ricava

c=2

Sostituiamo il tutto nell'equazione

y=ax^2+2

e mettiamo a sistema equazione della parabola ed equazione della bisettrice

\left\{\begin{matrix}y=ax^2+2\\ y=x\end{matrix}

Ne ricaviamo un'equazione di secondo grado in x dipendente dal parametro a

ax^2+2=x\to ax^2-x+2=0

Calcoliamone le soluzioni, vale a dire le ascisse dei punti di intersezione, con la formula del discriminante

x_{1,2}=\frac{1\pm\sqrt{1-8a}}{2a}

I punti di intersezione retta - parabola sono due se e solo se il delta è positivo, cioè se e solo se 1-8a>0\to a<\frac{1}{8}. La condizione di discriminante positivo garantisce infatti che l'equazione di secondo grado abbia due soluzioni distinte.

I punti di intersezione, in questa eventualità, hanno coordinate

(x_1,x_1),(x_2,x_2)

e in entrambi i casi ascissa e ordinata coincidono perché i punti di intersezione appartengono alla bisettrice del primo/terzo quadrante, che ha equazione y=x.

Calcoliamo la distanza tra i due punti

\sqrt{(x_1-x_2)^2+(x_1-x_2)^2}=\sqrt{2(x_1-x_2)^2}

Noi vogliamo che tale distanza - la lunghezza della corda - misuri

\sqrt{2(x_1-x_2)^2}=3\sqrt{2}

\sqrt{(x_1-x_2)^2}=3

IMPORTANTE: nell'estrarre la radice quadrata, è necessario prendere il modulo della radice del radicando!

|x_1-x_2|=3

Sostituiamo le ascisse dei due punti di intersezione

\left|\frac{1+\sqrt{1-8a}}{2a}-\frac{1-\sqrt{1-8a}}{2a}\right|=3

che diventa

\left|\frac{2\sqrt{1-8a}}{2a}\right|=3

Risolvendo questa equazione, trovi il valore di a che individua la parabola cercata. emt
Ringraziano: Pi Greco, Danni, ragazza

Equazione di una parabola con vertice e misura di una corda che intercetta #18692

avt
ragazza
Punto
grazie la tua spiegazione mi é stata molto utile
ciao !
Ringraziano: Omega
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Os