Equazione di un'iperbole nota la semidistanza focale, il semiasse trasverso e un punto di passaggio

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Equazione di un'iperbole nota la semidistanza focale, il semiasse trasverso e un punto di passaggio #18183

avt
nasticaruccetta
Punto
Potreste aiutarmi a risolvere questo problema sull'equazione dell'iperbole? In pratica, devo calcolare l'equazione di un'iperbole conoscendo la semidistanza focale, il semiasse trasverso e un punto di passaggio.

Grazie in anticipo emt L'esercizio dice:

un'iperbole ha semidistanza focale c=√2+1,semiasse trasverso coincidente con quello delle ascisse e passa per il punto P(-3;2√√2) (è radice quarta)
Scrivi l'equazione dell'iperbole.
 
 

Equazione di un'iperbole nota la semidistanza focale, il semiasse trasverso e un punto di passaggio #18243

avt
Danni
Sfera
Ciao* emt fai riferimento al formulario dell'iperbole.

L'equazione della tua iperbole può essere scritta come

b^{2}x^{2} - a^{2}y^{2} = a^{2}b^{2}

c^{2} = a^{2} + b^{2}

ovvero

b^{2} = c^{2} - a^{2}

con

a^{2} < c^{2}

Indichiamo subito

b^{2} = k
a^{2} = h

e sostituiamo le coordinate di P nell'equazione dell'iperbole:

{9k - h(4\sqrt{2}) = kh

(9 - h)k = 4h\sqrt{2}

con

 h \neq 9

Quindi:

k = \frac{4h\sqrt{2}}{9 - h}

L'altra equazione è data da

b^{2} = c^{2} - a^{2}

ovvero

k = 3 + 2\sqrt{2} - h

Ora non resta che risolvere l'equazione di secondo grado

(9 - h)(3 + 2\sqrt{2} - h) = 4h\sqrt{2}

(9 - h)(3 + 2\sqrt{2}) + h(h - 9) - 4h\sqrt{2} = 0

h^{2} - 6(2 + \sqrt{2})h + 9(3 + 2\sqrt{2}) = 0

\frac{\bigtriangleup}{4} = 9(3 + \sqrt{2}) = (3(1 + \sqrt{2}))^{2}

h_{1} = 3(2 + \sqrt{2}- 1 - \sqrt{2}) = 3

h_{2} = 3(3 + 2\sqrt{2})

Delle due soluzioni, la seconda non è accettabile per la condizione iniziale ed è quindi

a^{2} = h = 3

b^{2} = k = \frac{4*3\sqrt{2}}{6} = 2\sqrt{2}

Ed abbiamo l'equazione dell'iperbole in forma canonica

\frac{x^{2}}{3} - \frac{y^{2}}{2\sqrt{2}} = 1

che possiamo razionalizzare in

\frac{x^{2}}{3} - \frac{y^{2}\sqrt{2}}{4} = 1

ciao* emt
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Ifrit, nasticaruccetta

Equazione di un'iperbole nota la semidistanza focale, il semiasse trasverso e un punto di passaggio #18244

avt
Omega
Amministratore
[Off Topic]

SUPER TeX! emt

[/Off Topic]
Ringraziano: Danni

Equazione di un'iperbole nota la semidistanza focale, il semiasse trasverso e un punto di passaggio #18245

avt
Danni
Sfera
@ Omega: grazie grazie emt emt emt

Vallo a dire a Ispirato emt emt emt emt emt
Ringraziano: Omega

Equazione di un'iperbole nota la semidistanza focale, il semiasse trasverso e un punto di passaggio #18247

avt
Omega
Amministratore
emt emt emt
Ringraziano: Danni

Equazione di un'iperbole nota la semidistanza focale, il semiasse trasverso e un punto di passaggio #18249

avt
Ispirato
Visitatore
@ Danni: grrrrrrrrrrrr emt emt emt emt emt emt

Equazione di un'iperbole nota la semidistanza focale, il semiasse trasverso e un punto di passaggio #18250

avt
Pi Greco
Kraken
Posso??

Dare a Cesare quel che è di Cesare! Dare a Danni quel che è di Danni (Super Tex! Bravissimo!) emt emt
Ringraziano: Omega, Danni

Equazione di un'iperbole nota la semidistanza focale, il semiasse trasverso e un punto di passaggio #18253

avt
Danni
Sfera
@ Ispirato: emt emt emt emt emt emt
Ringraziano: Omega

Re: Equazione di un'iperbole nota la semidistanza focale, il semiasse trasverso e un punto di passaggio #18320

avt
nasticaruccetta
Punto
Grazie mille! emt
Ringraziano: Omega

Re: Equazione di un'iperbole nota la semidistanza focale, il semiasse trasverso e un punto di passaggio #18340

avt
Danni
Sfera
Di nulla, ciao* emt
Ringraziano: Omega
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Os