Tangenti a un'ellisse parallele a una retta

Mi aiutate a risolvere questo esercizio sulle rette tangenti ad una ellisse che siano parallele a delle rette? Devo anche calcolare le coordinate dei vertici di un quadrato formato da tali rette...

Determinare le equazioni delle tangenti all'ellisse di equazione 2x²+3y²=30 parallele alle rette di equazione y=x e y=-x.
Calcolare i vertici del quadrato circoscritto all'ellisse individuato dalle precedenti tangenti ed i vertici del rettangolo inscritto avente come vertici i punti di tangenza.

Grazieee!

Ciao Michael

Per risolvere il problema considera due fasci di rette: il fascio di rette parallele alla bisettrice del primo-terzo quadrante e il fascio di rette parallele alla bisettrice del secondo-quarto quadrante . Rispettivamente





Come determinare le rette tangenti ad un'ellisse, o più in generale ad una conica, tra le rette di un assegnato fascio?

Si considera il sistema dato dall'equazione dell'ellisse e dall'equazione del fascio di rette, ad esempio nel caso del primo fascio



Da questo sistema ricaviamo un'equazione di secondo grado in dipendente dal parametro



Dopo aver riordinato questa equazione di secondo grado con costanza e dovizia puoi giungere al nocciolo della tangenza: la condizione geometrica di tangenza tra retta ed ellisse consiste nel fatto che le due curve si intersecano in due punti coincidenti. Algebricamente, ciò si traduce nel fatto che il discriminante (delta) dell'equazione di secondo grado precedente debba essere uguale a zero.



Il delta della precedente equazione di secondo grado dipende da , dunque la condizione algebrica di tangenza fornisce un'equazione in . Le soluzioni di questa equazione individuano le rette tangenti del fascio.

Prendi i valori di che risolvono l'equazione del delta: saranno due, chiamiamoli . Le rette corrispondenti saranno , .

Le ascisse dei punti di tangenza delle due rette si determinano risolvendo le equazioni





Le ordinate corrispondenti alle ascisse dei punti di tangenza si determinano attraverso le equazioni delle rette tangenti

con LA soluzione di

con LA soluzione di

Comportati allo stesso modo con il secondo fascio.

Alla fine avrai quattro rette tangenti, e dunque quattro punti di tangenza

Grazie mille!!!