Punti di tangenza e iperbole, esercizio

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Punti di tangenza e iperbole, esercizio #18111

avt
asd1
Punto
Oggi il prof mi ha dato questo esercizio sulle rette tangenti ad un'iperbole ma non riesco a svolgerlo.

Dato un punto P(0,-8) condurre le tangenti all'iperbole di equazione 4x^2-y^2-8 = 0 e verificare che i punti di tangenza sono punti medi dei segmenti aventi per estremi le intersezioni delle tangenti con gli asintoti dell'iperbole.

Qualcuno mi dà una mano?
Grazie mille
 
 

Punti di tangenza e iperbole, esercizio #18246

avt
Omega
Amministratore
Ciao Asd1!

L'iperbole (click per le formule) che prendiamo in considerazione ha equazione

4x^2-y^2-8 = 0

e vogliamo determinare la retta tangente a tale iperbole e condotta per il punto (0,-8): per trovarla, consideriamo la generica equazione della retta passante per un punto P = (x_P,y_P) e di coefficiente angolare m

y-y_P = m(x-x_P)

e imponiamo il passaggio per P = (0,-8)

y+8 = mx → y = mx-8

La condizione di tangenza retta-iperbole si ottiene imponendo che vi siano due intersezioni coincidenti tra iperbole e retta del fascio, il che algebricamente si traduce nel fatto che...

...se mettiamo a sistema l'equazione dell'iperbole e l'equazione del fascio

4x^2-y^2-8 = 0 ; y = mx-8

otteniamo un'equazione di secondo grado in x e dipendente dal parametro m

4x^2-(mx-8)^2-8 = 0

Per avere la condizione di tangenza, tale equazione deve avere due soluzioni coincidenti, il che vuol dire:

1) si calcola il discriminante dell'equazione di secondo grado Δ, che naturalmente dipenderà dal parametro m

Δ = Δ(m)

2) Si impone che il discriminante sia uguale a zero

Δ(m) = 0

in questo modo si ottiene un'equazione di secondo grado che, risolta, fornisce i valori del parametro m che individuano tutte e sole le tangenti all'iperbole condotte dal punto.

Facendo i conti, vedrai che l'equazione del delta ha due soluzioni m_(1,2), per cui ci sono due rette tangenti

 y = m_1x-8 ; y = m_2x-8

I punti di tangenza li ottieni risolvendo le equazioni

 4x^2-(m_1x-8)^2-8 = 0 ; 4x^2-(m_2x-8)^2-8 = 0

Ciascuna di esse ha una e una sola soluzione (naturalmente!): l'ascissa del punto di tangenza della corrispondente retta tangente.

Chiamando, nell'ordine, le due soluzioni x_1,x_2 puoi ricavare le ordinate dei punti di tangenza per sostituzione nelle equazioni delle corrispondenti rette

 y_1 = m_1x_1-8 ; y_1 = m_2x_2-8

I due punti di tangenza sono quindi (x_1,y_1), (x_2,y_2).

Gli asintoti dell'iperbole si calcolano mediante le formule

y = ±(b)/(a)x

dove a,b sono riferiti all'equazione nella forma

(x^2)/(a^2)-(y^2)/(b^2) = 1

Nel nostro caso l'equazione va portata in tale forma

 4x^2-y^2 = 8 ; (4)/(8)x^2-(1)/(8)y^2 = 1 ; (x^2)/(2)x^2-(y^2)/(8) = 1

per cui a = √(2),b = 2√(2) e gli asintoti sono

y = ±2x.

A questo punto non ti resta che calcolare le intersezioni delle rette tangenti con gli asintoti dell'iperbole: bisogna risolvere i sistemi di due equazioni dati dalle equazioni delle coppie di rette di cui cerchi le intersezioni.

Per verificare che i punti di tangenza sono i punti medi di cui parla la traccia, detto ad esempio T il punto di tangenza di una delle due rette tangenti con l'iperbole e dette A,B le intersezioni di tale retta tangente con gli asintoti, basta controllare che

(x_T,y_T) = ((x_A+x_B)/(2),(y_A+y_B)/(2))

Ecco fatto!
Ringraziano: Pi Greco
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Os