Problemi su fasci di rette e fasci di parabole

Ciao a tutti Chi mi aiuta a risolvere questi problemi sui fasci di parabole e di rette?

1) Sono dati la parabola di equazione e il fascio di rette di equazione . Determinare per quale valore di m la retta soddisfa le seguenti condizioni:

- è tangente alla parabola;
- interseca la parabola in un punto dell'asse delle ascisse;
- interseca la parabola nel vertice;
- passa per il fuoco della parabola.

2) Fra tutte le parabole di equazione determinare quelle che soddisfano le seguenti condizioni:

- passa per il punto ;
-è tangente alla retta
-stacca sulla retta un segmento di lunghezza 3.

Grazie mille!

Bene bene: il primo è andato, ed è andato qui: problema con parabola e fascio di rette.

Quando è tutto ok, passiamo al secondo problema

Ok :d se vuoi possiamo passare al secondo

Ok

depe_ ha scritto:


Per individuare la parabola che passa per il punto tra le parabole del fascio



è sufficiente imporre la condizione di passaggio per il punto. Questo, algebricamente, si traduce nel sostituire le coordinate del punto nell'equazione del fascio: un punto appartiene infatti ad un luogo geometrico descritto da un'equazione cartesiana se e solo se le sue coordinate ne soddisfano l'equazione stessa.



La parabola cercata è .



La condizione di tangenza tra una parabola e una retta l'abbiamo vista nella discussione del link di cui sopra, poco importa che là avessimo un fascio di rette e una parabola mentre qui abbiamo un fascio di parabole e una retta.

Metti a sistema l'equazione della retta e l'equazione del fascio di parabole



Ricavane un'equazione di secondo grado in dipendente dal parametro



calcola il discriminante (delta) di tale equazione di secondo grado



imponilo uguale a zero (condizione di tangenza - due soluzioni coincidenti)



Le soluzioni individuano le parabole del fascio tangenti alla retta.



Per soddisfare questa richiesta dell'esercizio consideriamo il sistema dato dall'equazione del fascio di parabole e l'equazione della retta



cui corrisponde un'equazione di secondo grado



le cui soluzioni corrispondono alle ascisse dei generici punti di intersezione tra la retta e il fascio di parabole.

Questi punti di intersezione, e in particolare tali ascisse, dipendono dalla scelta del parametro , e si trovano sulla retta .

Chiamiamo le soluzioni della precedente equazione di secondo grado. E' molto importante ricordarsi di porne il discriminante maggiore-uguale a zero, per garantire l'esistenza delle soluzioni (intersezioni).

Vogliamo che la corda staccata dalla retta abbia lunghezza pari a .

I generici punti di intersezione sono .

La misura della corda avente tali punti per estremi è data da



Imponendo



si ottiene un'equazione in la/le cui soluzione/i individuano la/le parabola/e cercata/e.