Problemi su fasci di rette e fasci di parabole

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Problemi su fasci di rette e fasci di parabole #18062

avt
depe_
Cerchio
Ciao a tutti emt Chi mi aiuta a risolvere questi problemi sui fasci di parabole e di rette?

1) Sono dati la parabola di equazione y=-x^2+3x-2 e il fascio di rette di equazione y=mx+2. Determinare per quale valore di m la retta soddisfa le seguenti condizioni:

- è tangente alla parabola;
- interseca la parabola in un punto dell'asse delle ascisse;
- interseca la parabola nel vertice;
- passa per il fuoco della parabola.

2) Fra tutte le parabole di equazione y=x^2+kx determinare quelle che soddisfano le seguenti condizioni:

- passa per il punto (2,6);
-è tangente alla retta 2x-y-3=0
-stacca sulla retta y=2 un segmento di lunghezza 3.

Grazie mille!
 
 

Problemi su fasci di rette e fasci di parabole #18175

avt
Omega
Amministratore
Bene bene: il primo è andato, ed è andato qui: problema con parabola e fascio di rette.

Quando è tutto ok, passiamo al secondo problema emt

Problemi su fasci di rette e fasci di parabole #18177

avt
depe_
Cerchio
Ok :d se vuoi possiamo passare al secondo

Problemi su fasci di rette e fasci di parabole #18181

avt
Omega
Amministratore
Ok emt

depe_ ha scritto:
2) Fra tutte le parabole di equazione y=x^2+kx determinare quelle che soddisfano le seguenti condizioni:
-passa per il punto (2,6)


Per individuare la parabola che passa per il punto (2,6) tra le parabole del fascio

y=x^2+kx

è sufficiente imporre la condizione di passaggio per il punto. Questo, algebricamente, si traduce nel sostituire le coordinate del punto nell'equazione del fascio: un punto appartiene infatti ad un luogo geometrico descritto da un'equazione cartesiana se e solo se le sue coordinate ne soddisfano l'equazione stessa.

6=4+2k\to k=1

La parabola cercata è y=x^2+x.

-è tangente alla retta 2x-y-3=0


La condizione di tangenza tra una parabola e una retta l'abbiamo vista nella discussione del link di cui sopra, poco importa che là avessimo un fascio di rette e una parabola mentre qui abbiamo un fascio di parabole e una retta.

Metti a sistema l'equazione della retta e l'equazione del fascio di parabole

\left\{\begin{matrix}y=x^2+kx\\ y=2x-3\end{matrix}

Ricavane un'equazione di secondo grado in x dipendente dal parametro k

x^2+(k-2)x+3=0

calcola il discriminante (delta) di tale equazione di secondo grado

\Delta=(k-2)^2-12

imponilo uguale a zero (condizione di tangenza - due soluzioni coincidenti)

(k-2)^2-12=0

Le soluzioni individuano le parabole del fascio tangenti alla retta.

-stacca sulla retta y=2 un segmento di lunghezza 3


Per soddisfare questa richiesta dell'esercizio consideriamo il sistema dato dall'equazione del fascio di parabole e l'equazione della retta y=2

\left\{\begin{matrix}y=x^2+kx\\ y=2\end{matrix}

cui corrisponde un'equazione di secondo grado

x^2+kx-2=0

le cui soluzioni corrispondono alle ascisse dei generici punti di intersezione tra la retta y=2 e il fascio di parabole.

Questi punti di intersezione, e in particolare tali ascisse, dipendono dalla scelta del parametro k, e si trovano sulla retta y=2.

Chiamiamo x_1(k),x_2(k) le soluzioni della precedente equazione di secondo grado. E' molto importante ricordarsi di porne il discriminante maggiore-uguale a zero, per garantire l'esistenza delle soluzioni (intersezioni).

Vogliamo che la corda staccata dalla retta y=2 abbia lunghezza pari a 3.

I generici punti di intersezione sono (x_1(k),2),(x_2(k),2).

La misura della corda avente tali punti per estremi è data da

|x_1(k)-x_2(k)|

Imponendo

|x_1(k)-x_2(k)|=3

si ottiene un'equazione in k la/le cui soluzione/i individuano la/le parabola/e cercata/e. emt
Ringraziano: Pi Greco
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Os