Equazione della parabola passante per un punto

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Equazione della parabola passante per un punto #17348

avt
depe_
Cerchio
Mi è capitato un esercizio di geometria analitica sulla parabola che non sono in grado di risolvere. Mi viene chiesto di scrivere l'equazione della parabola, noto il vertice e un punto per cui passa. Potreste aiutarmi?

Scrivere l'equazione della parabola

y=ax^2+bx+c

di vertice V(-1,2) e passante per il punto A(1,0).

Grazie.
 
 

Equazione della parabola passante per un punto #17362

avt
Omega
Amministratore
Il nostro compito è quello di scrivere l'equazione della parabola

\Gamma:\ y=ax^2+bx+c

sapendo che il suo vertice ha coordinate V(-1,2) e che passa per il punto A(1,0).

Per raggiungere lo scopo, esistono effettivamente due strade percorribili.

La prima prevede di usare la formula per l'equazione della parabola, noto il vertice, e di imporre in un secondo momento la condizione di appartenenza.

La seconda strada consiste nel costruire un sistema di equazioni nelle incognite a,b,c sfruttando le informazioni del problema.


Con equazione della parabola, noto il vertice

L'equazione di una parabola con asse di simmetria parallelo all'asse delle ordinate e di vertice V(x_V,y_V) è:

y=a(x-x_V)^2+y_V

dove a è un qualsiasi numero reale diverso da 0.

In questo caso, le coordinate del vertice sono

x_V=-1\ \ \ , \ \ \ y_V=2

per cui l'equazione di \Gamma è

y=a(x-(-1))^2+2 \ \ \ \to \ \ \ y=a(x+1)^2+2

Per determinare il coefficiente a basta imporre la condizione di appartenenza: il punto A(x_A,y_A) appartiene alla parabola se e solo se le coordinate del punto soddisfano l'equazione della parabola, ossia se e solo se

y_A=a(x_A+1)^2+2

Sostituiamo x_A=1 e y_A=0, e risolviamo l'equazione nell'incognita a

0=a(1+1)^2+2 \ \ \ \to \ \ \ 4a+2=0

da cui

4a=-2 \ \ \ \to \ \ \ a=-\frac{1}{2}

L'equazione della parabola \Gamma è quindi

y=-\frac{1}{2}(x+1)^2+2

Non ci resta che riportarla in forma normale, sviluppando il quadrato di binomio e svolgendo i calcoli

\\ y=-\frac{1}{2}(x^2+2x+1)+2 \\ \\ \\ y=-\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{2}\cdot 2x-\frac{1}{2}+2 \\ \\ \\ y=-\frac{1}{2}x^2-x+\frac{3}{2}


Con il sistema nelle incognite a,b,c

Le coordinate del vertice V(x_V,y_V) di una parabola di equazione

y=ax^2+bx+c\ \ \ \mbox{con} \ a\ne 0

sono date dalle formule

x_V=-\frac{b}{2a} \ \ \ , \ \ \ y_V=-\frac{\Delta}{4a}

dove

\Delta=b^2-4ac

è il discriminante della parabola.

Poiché le coordinate del vertice che sono

x_V=-1\ \ \ , \ \ \ y_V=2

devono valere le seguenti condizioni

\\ -\frac{b}{2a}=-1 \ \ \ \to \ \ \ b=2a; \\ \\ \\ -\frac{\Delta}{4a}=2 \ \ \ \to \ \ \ -\Delta=8a

Imponendo la condizione di appartenenza del punto A a \Gamma, otteniamo l'ulteriore condizione

y_A=ax_A^2+bx_A+c \ \ \ \to \ \ \ 0=a+b+c

Le tre equazioni devono valere contemporaneamente, perciò costituiscono il seguente sistema

\begin{cases}b=2a\\ -\Delta=8a\\ a+b+c=0\end{cases}

Per risolverlo usiamo il metodo di sostituzione.

Prima di tutto, esplicitiamo \Delta

\begin{cases}b=2a\\ -b^2+4ac=8a\\ a+b+c=0\end{cases}

dopodiché sostituiamo 2a al posto di b nella seconda e nella terza equazione

\begin{cases}b=2a\\ -4a^2+4ac=8a\\ 3a+c=0\end{cases}

Poiché a\ne 0 possiamo dividere i membri della seconda equazione per questo termine

\begin{cases}b=2a\\ -4a+4c=8\\ 3a+c=0\end{cases}

Dalla terza esprimiamo c in termini di a

\begin{cases}b=2a\\ -4a+4c=8\\ c=-3a\end{cases}

e, sostituendo l'espressione nella seconda, otteniamo un'equazione nella sola incognita a

\begin{cases}b=2a\\ -4a-12a=8\\ c=-3a\end{cases}

Dalla relazione -4a-12a=8 segue che a=-\frac{1}{2}, per cui

\begin{cases}b=2\cdot\left(-\dfrac{1}{2}\right)=-1\\ \\ a=-\dfrac{1}{2}\\ \\ c=-3\cdot\left(-\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{3}{2}\end{cases}

Possiamo concludere che l'equazione della parabola \Gamma è:

y=ax^2+bx+c \ \ \ \to \ \ \ y=-\frac{1}{2}x^2-x+\frac{3}{2}

Abbiamo finito.
Ringraziano: Pi Greco
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Os