Equazione della parabola passante per un punto

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Equazione della parabola passante per un punto #17348

depe_ Cerchio	Mi è capitato un esercizio di geometria analitica sulla parabola che non sono in grado di risolvere. Mi viene chiesto di scrivere l'equazione della parabola, noto il vertice e un punto per cui passa. Potreste aiutarmi? Scrivere l'equazione della parabola di vertice e passante per il punto . Grazie.

Equazione della parabola passante per un punto #17362

Omega

Amministratore

Il nostro compito è quello di scrivere l'equazione della parabola

$\Gamma:\ y=ax^2+bx+c$

sapendo che il suo vertice ha coordinate

e che passa per il punto

Per raggiungere lo scopo, esistono effettivamente due strade percorribili.

La prima prevede di usare la formula per l'equazione della parabola, noto il vertice, e di imporre in un secondo momento la condizione di appartenenza.

La seconda strada consiste nel costruire un sistema di equazioni nelle incognite

sfruttando le informazioni del problema.

Con equazione della parabola, noto il vertice

L'equazione di una parabola con asse di simmetria parallelo all'asse delle ordinate e di vertice

è:

dove

è un qualsiasi numero reale diverso da 0.

In questo caso, le coordinate del vertice sono

$x_V=-1\ \ \ , \ \ \ y_V=2$

per cui l'equazione di $\Gamma$ è

$y=a(x-(-1))^2+2 \ \ \ \to \ \ \ y=a(x+1)^2+2$

Per determinare il coefficiente

basta imporre la condizione di appartenenza: il punto

appartiene alla parabola se e solo se le coordinate del punto soddisfano l'equazione della parabola, ossia se e solo se

Sostituiamo

, e risolviamo l'equazione nell'incognita

$0=a(1+1)^2+2 \ \ \ \to \ \ \ 4a+2=0$

da cui

$4a=-2 \ \ \ \to \ \ \ a=-\frac{1}{2}$

L'equazione della parabola $\Gamma$ è quindi

$y=-\frac{1}{2}(x+1)^2+2$

Non ci resta che riportarla in forma normale, sviluppando il quadrato di binomio e svolgendo i calcoli

$\\ y=-\frac{1}{2}(x^2+2x+1)+2 \\ \\ \\ y=-\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{2}\cdot 2x-\frac{1}{2}+2 \\ \\ \\ y=-\frac{1}{2}x^2-x+\frac{3}{2}$

Con il sistema nelle incognite a,b,c

Le coordinate del vertice

di una parabola di equazione

$y=ax^2+bx+c\ \ \ \mbox{con} \ a\ne 0$

sono date dalle formule

$x_V=-\frac{b}{2a} \ \ \ , \ \ \ y_V=-\frac{\Delta}{4a}$

dove

$\Delta=b^2-4ac$

è il discriminante della parabola.

Poiché le coordinate del vertice che sono

$x_V=-1\ \ \ , \ \ \ y_V=2$

devono valere le seguenti condizioni

$\\ -\frac{b}{2a}=-1 \ \ \ \to \ \ \ b=2a; \\ \\ \\ -\frac{\Delta}{4a}=2 \ \ \ \to \ \ \ -\Delta=8a$

Imponendo la condizione di appartenenza del punto

a $\Gamma$ , otteniamo l'ulteriore condizione

$y_A=ax_A^2+bx_A+c \ \ \ \to \ \ \ 0=a+b+c$

Le tre equazioni devono valere contemporaneamente, perciò costituiscono il seguente sistema

$\begin{cases}b=2a\\ -\Delta=8a\\ a+b+c=0\end{cases}$

Per risolverlo usiamo il metodo di sostituzione.

Prima di tutto, esplicitiamo $\Delta$

$\begin{cases}b=2a\\ -b^2+4ac=8a\\ a+b+c=0\end{cases}$

dopodiché sostituiamo

al posto di

nella seconda e nella terza equazione

$\begin{cases}b=2a\\ -4a^2+4ac=8a\\ 3a+c=0\end{cases}$

Poiché $a\ne 0$ possiamo dividere i membri della seconda equazione per questo termine

$\begin{cases}b=2a\\ -4a+4c=8\\ 3a+c=0\end{cases}$

Dalla terza esprimiamo

in termini di

$\begin{cases}b=2a\\ -4a+4c=8\\ c=-3a\end{cases}$

e, sostituendo l'espressione nella seconda, otteniamo un'equazione nella sola incognita

$\begin{cases}b=2a\\ -4a-12a=8\\ c=-3a\end{cases}$

Dalla relazione

segue che $a=-\frac{1}{2}$ , per cui

$\begin{cases}b=2\cdot\left(-\dfrac{1}{2}\right)=-1\\ \\ a=-\dfrac{1}{2}\\ \\ c=-3\cdot\left(-\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{3}{2}\end{cases}$

Possiamo concludere che l'equazione della parabola $\Gamma$ è:

$y=ax^2+bx+c \ \ \ \to \ \ \ y=-\frac{1}{2}x^2-x+\frac{3}{2}$

Abbiamo finito.

Ringraziano: Pi Greco

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