Equazione della parabola passante per un punto.

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Equazione della parabola passante per un punto. #17348

avt
depe_
Cerchio
Mi è capitato un esercizio di geometria analitica sulla parabola che non sono in grado di risolvere. Mi viene chiesto di scrivere l'equazione della parabola, noto il vertice e un punto per cui passa. Potreste aiutarmi?

Scrivere l'equazione della parabola

y=ax^2+bx+c

di vertice V(-1,2) e passante per il punto A(1,0).

Grazie.
 
 

Re: Equazione della parabola passante per un punto. #17362

avt
Omega
Amministratore
Il nostro compito è quello di scrivere l'equazione della parabola

\Gamma:\ y=ax^2+bx+c

sapendo che il suo vertice ha coordinate V(-1,2) e che passa per il punto A(1,0).

Per raggiungere lo scopo, esistono effettivamente due strade percorribili. La prima prevede di usare la formula per l'equazione della parabola noto il vertice e di imporre in un secondo momento la condizione di appartenenza.

La seconda strada consiste nel costruire un sistema di equazioni nelle incognite a,b,c ottenuto esplicitando le informazioni del problema.


Con equazione della parabola, noto il vertice

Ricordiamo che l'equazione di una parabola con asse di simmetria parallelo all'asse delle ordinate e di vertice V(x_V,y_V) è:

y=a(x-x_V)^2+y_V

dove a è un qualsiasi numero reale non nullo.

Nel caso in esame x_V=-1, y_V=2, per cui l'equazione di \Gamma è:

y=a(x-(-1))^2+2 \ \ \ \to \ \ \ y=a(x+1)^2+2

Per determinare il coefficiente a, basta imporre la condizione di appartenenza:

A(x_A,y_A)\in\Gamma \iff y_A=a(x_A+1)^2+2

Sostituiamo x_A=1 e y_A=0 e risolviamo l'equazione nell'incognita a che ne deriva

0=a(1+1)^2+2 \ \ \ \to \ \ \ 4a+2=0

da cui

4a=-2 \ \ \ \to \ \ \ a=-\frac{1}{2}

Noto il valore di a, possiamo affermare che l'equazione della parabola \Gamma è:

y=-\frac{1}{2}(x+1)^2+2

Non ci resta che riportarla in forma normale sviluppando il quadrato di binomio e svolgendo i semplici calcoli

\\ y=-\frac{1}{2}(x^2+2x+1)+2 \\ \\ \\ y=-\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{2}\cdot 2x-\frac{1}{2}+2 \\ \\ \\ y=-\frac{1}{2}x^2-x+\frac{3}{2}


Con il sistema nelle incognite a,b,c

Le coordinate del vertice V(x_V,y_V) associate all'equazione di una parabola:

y=ax^2+bx+c

sono date dalle formule

x_V=-\frac{b}{2a} \ \ \ , \ \ \ y_V=-\frac{\Delta}{4a}

dove \Delta=b^2-4ac è il discriminante associato alla parabola.

L'esercizio fornisce le coordinate del vertice che sono:

x_V=-1\ \ \ , \ \ \ y_V=2

dalle quali derivano le relazioni

\\ -\frac{b}{2a}=-1 \ \ \ \to \ \ \ b=2a; \\ \\ \\ -\frac{\Delta}{4a}=2 \ \ \ \to \ \ \ -\Delta=8a

Imponendo la condizione di appartenenza del punto A alla parabola \Gamma, otteniamo l'ulteriore relazione

y_A=ax_A^2+bx_A+c \ \ \ \to \ \ \ 0=a+b+c

Le tre equazioni costituiscono il sistema

\begin{cases}b=2a\\ -\Delta=8a\\ a+b+c=0\end{cases}

che possiamo risolvere con il metodo di sostituzione.

Prima di tutto, esplicitiamo \Delta

\begin{cases}b=2a\\ -b^2+4ac=8a\\ a+b+c=0\end{cases}

dopodiché sostituiamo 2a al posto di b nella seconda e nella terza equazione

\begin{cases}b=2a\\ -4a^2+4ac=8a\\ 3a+c=0\end{cases}

Poiché a\ne 0 (altrimenti l'equazione non individua una parabola!), possiamo dividere i membri della seconda equazione per a

\begin{cases}b=2a\\ -4a+4c=8\\ 3a+c=0\end{cases}

Dalla terza esprimiamo c in termini di a

\begin{cases}b=2a\\ -4a+4c=8\\ c=-3a\end{cases}

e sostituendo nella seconda, otteniamo un'equazione nella sola incognita a

\begin{cases}b=2a\\ -4a-12a=8\\ c=-3a\end{cases}

Dalla relazione -4a-12a=8 segue che a=-\frac{1}{2}, per cui

\begin{cases}b=2\cdot\left(-\dfrac{1}{2}\right)=-1\\ \\ a=-\dfrac{1}{2}\\ \\ c=-3\cdot\left(-\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{3}{2}\end{cases}

Possiamo concludere che l'equazione della parabola \Gamma è:

y=ax^2+bx+c \ \ \ \to \ \ \ y=-\frac{1}{2}x^2-x+\frac{3}{2}

Abbiamo finito.
Ringraziano: Pi Greco
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Os