Equazione della parabola passante per un punto.

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Equazione della parabola passante per un punto. #17348

depe_ Cerchio	Mi è capitato un esercizio di geometria analitica sulla parabola che non sono in grado di risolvere. Mi viene chiesto di scrivere l'equazione della parabola, noto il vertice e un punto per cui passa. Potreste aiutarmi? Scrivere l'equazione della parabola di vertice e passante per il punto . Grazie.

Re: Equazione della parabola passante per un punto. #17362

Omega

Amministratore

Il nostro compito è quello di scrivere l'equazione della parabola

$\Gamma:\ y=ax^2+bx+c$

sapendo che il suo vertice ha coordinate

e che passa per il punto

Per raggiungere lo scopo, esistono effettivamente due strade percorribili. La prima prevede di usare la formula per l'equazione della parabola noto il vertice e di imporre in un secondo momento la condizione di appartenenza.

La seconda strada consiste nel costruire un sistema di equazioni nelle incognite

ottenuto esplicitando le informazioni del problema.

Con equazione della parabola, noto il vertice

Ricordiamo che l'equazione di una parabola con asse di simmetria parallelo all'asse delle ordinate e di vertice

è:

dove

è un qualsiasi numero reale non nullo.

Nel caso in esame

, per cui l'equazione di $\Gamma$ è:

$y=a(x-(-1))^2+2 \ \ \ \to \ \ \ y=a(x+1)^2+2$

Per determinare il coefficiente

, basta imporre la condizione di appartenenza:

$A(x_A,y_A)\in\Gamma \iff y_A=a(x_A+1)^2+2$

Sostituiamo

e risolviamo l'equazione nell'incognita

che ne deriva

$0=a(1+1)^2+2 \ \ \ \to \ \ \ 4a+2=0$

da cui

$4a=-2 \ \ \ \to \ \ \ a=-\frac{1}{2}$

Noto il valore di

, possiamo affermare che l'equazione della parabola $\Gamma$ è:

$y=-\frac{1}{2}(x+1)^2+2$

Non ci resta che riportarla in forma normale sviluppando il quadrato di binomio e svolgendo i semplici calcoli

$\\ y=-\frac{1}{2}(x^2+2x+1)+2 \\ \\ \\ y=-\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{2}\cdot 2x-\frac{1}{2}+2 \\ \\ \\ y=-\frac{1}{2}x^2-x+\frac{3}{2}$

Con il sistema nelle incognite a,b,c

Le coordinate del vertice

associate all'equazione di una parabola:

sono date dalle formule

$x_V=-\frac{b}{2a} \ \ \ , \ \ \ y_V=-\frac{\Delta}{4a}$

dove $\Delta=b^2-4ac$ è il discriminante associato alla parabola.

L'esercizio fornisce le coordinate del vertice che sono:

$x_V=-1\ \ \ , \ \ \ y_V=2$

dalle quali derivano le relazioni

$\\ -\frac{b}{2a}=-1 \ \ \ \to \ \ \ b=2a; \\ \\ \\ -\frac{\Delta}{4a}=2 \ \ \ \to \ \ \ -\Delta=8a$

Imponendo la condizione di appartenenza del punto

alla parabola $\Gamma$ , otteniamo l'ulteriore relazione

$y_A=ax_A^2+bx_A+c \ \ \ \to \ \ \ 0=a+b+c$

Le tre equazioni costituiscono il sistema

$\begin{cases}b=2a\\ -\Delta=8a\\ a+b+c=0\end{cases}$

che possiamo risolvere con il metodo di sostituzione.

Prima di tutto, esplicitiamo $\Delta$

$\begin{cases}b=2a\\ -b^2+4ac=8a\\ a+b+c=0\end{cases}$

dopodiché sostituiamo

al posto di

nella seconda e nella terza equazione

$\begin{cases}b=2a\\ -4a^2+4ac=8a\\ 3a+c=0\end{cases}$

Poiché $a\ne 0$ (altrimenti l'equazione non individua una parabola!), possiamo dividere i membri della seconda equazione per

$\begin{cases}b=2a\\ -4a+4c=8\\ 3a+c=0\end{cases}$

Dalla terza esprimiamo

in termini di

$\begin{cases}b=2a\\ -4a+4c=8\\ c=-3a\end{cases}$

e sostituendo nella seconda, otteniamo un'equazione nella sola incognita

$\begin{cases}b=2a\\ -4a-12a=8\\ c=-3a\end{cases}$

Dalla relazione

segue che $a=-\frac{1}{2}$ , per cui

$\begin{cases}b=2\cdot\left(-\dfrac{1}{2}\right)=-1\\ \\ a=-\dfrac{1}{2}\\ \\ c=-3\cdot\left(-\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{3}{2}\end{cases}$

Possiamo concludere che l'equazione della parabola $\Gamma$ è:

$y=ax^2+bx+c \ \ \ \to \ \ \ y=-\frac{1}{2}x^2-x+\frac{3}{2}$

Abbiamo finito.

Ringraziano: Pi Greco

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