Tangenti a una parabola perpendicolari tra loro condotte dalla direttrice

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Tangenti a una parabola perpendicolari tra loro condotte dalla direttrice #17313

avt
piccolaAle
Punto
Ciao! Sono nuova del forum, oggi il prof mi ha dato questo problema sulle rette tangenti ad una parabola, ma non riesco a risolverlo...

Assegnata la parabola di equazione x^2-4y=0 condurre per il punto P(2, -1), appartenente alla direttrice, le tangenti alla parabola e verificare che sono perpendicolari tra di loro. Verificare che la proprietà è vera per qualunque punto della direttrice.

Spero ci sia qualcuno che mi possa aiutare. emt
 
 

Tangenti a una parabola perpendicolari tra loro condotte dalla direttrice #17376

avt
Ispirato
Visitatore
Ciao emt
L'equazione del fascio di rette per P(2;-1) è:

y +1 = m(x-2),

cioè:

y = mx-2m-1.

Imponiamo la condizione di tangenza alla parabola:

\left\{\begin{matrix}y = mx-2m-1 \\ y = \frac{x^{2}}{4} \\ \bigtriangleup = 0\end{matrix}\right

Mettendo a confronto le prime due equazioni:

\frac{x^{2}}{4}=mx-2m-1

cioè:

{x^{2}}-4mx+8m+4=0

da cui:

\frac{\bigtriangleup}{4}=4m^{2}-8m-4=0

m^{2}-2m-1=0

risolta per:

m1=1-\sqrt{2}

m2=1+\sqrt{2}

ai quali corrispondono le rette di equazioni:

y = (1-\sqrt{2})x-3+2\sqrt{2},

y=(1+\sqrt{2})x-3-2\sqrt{2}.

Le due equazioni trovate rappresentano rette tra loro perpendicolari, infatti:

m1*m2=(1-\sqrt{2})(1+\sqrt{2}) = 1-2 = -1.

Per verificare che la proprietà è vera qualunque sia il punto della direttrice, cioè P(k;-1), si ripete tutto il procedimento.

L'equazione del fascio di rette per P(2;-1) è:

y +1 = m(x-k),

cioè:

y = mx-mk-1.

Imponiamo la condizione di tangenza alla parabola:

\left\{\begin{matrix}y = mx-mk-1 \\ y = \frac{x^{2}}{4} \\ \bigtriangleup = 0\end{matrix}\right

Mettendo a confronto le prime due equazioni:

\frac{x^{2}}{4}=mx-mk-1

cioè:

{x^{2}}-4mx+4mk+4=0

da cui:

\frac{\bigtriangleup}{4}=4m^{2}-4mk-4=0

m^{2}-mk-1=0

risolta per:

m1=\frac{k-\sqrt{k^{2}+4}}{2}

m2=\frac{k+\sqrt{k^{2}+4}}{2}

I due coefficienti angolari trovati caratterizzano due rette perpendicolari, infatti:

m1*m2=\frac{k-\sqrt{k^{2}+4}}{2}\frac{k+\sqrt{k^{2}+4}}{2} =

\frac{k^{2}-k^{2}-4}{4} = -\frac{4}{4} = -1

Naturalmente la seconda parte contiene la prima e la sostituisce.
Ciao emt
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Os