Tangenti a una parabola perpendicolari tra loro condotte dalla direttrice

Prima di postare leggi le regole del Forum. Puoi anche leggere le ultime discussioni.

Tangenti a una parabola perpendicolari tra loro condotte dalla direttrice #17313

avt
piccolaAle
Punto
Ciao! Sono nuova del forum, oggi il prof mi ha dato questo problema sulle rette tangenti ad una parabola, ma non riesco a risolverlo...

Assegnata la parabola di equazione x^2-4y=0 condurre per il punto P(2, -1), appartenente alla direttrice, le tangenti alla parabola e verificare che sono perpendicolari tra di loro. Verificare che la proprietà è vera per qualunque punto della direttrice.

Spero ci sia qualcuno che mi possa aiutare. emt
 
 

Tangenti a una parabola perpendicolari tra loro condotte dalla direttrice #17376

avt
Ispirato
Visitatore
Ciao emt
L'equazione del fascio di rette per P(2;-1) è:

y+1 = m(x-2),

cioè:

y = mx-2m-1.

Imponiamo la condizione di tangenza alla parabola:

y = mx-2m-1 ; y = (x^(2))/(4) ; bigtriangleup = 0

Mettendo a confronto le prime due equazioni:

(x^(2))/(4) = mx-2m-1

cioè:

x^(2)-4mx+8m+4 = 0

da cui:

(bigtriangleup)/(4) = 4m^(2)-8m-4 = 0

m^(2)-2m-1 = 0

risolta per:

m1 = 1-√(2)

m2 = 1+√(2)

ai quali corrispondono le rette di equazioni:

y = (1-√(2))x-3+2√(2),

y = (1+√(2))x-3-2√(2).

Le due equazioni trovate rappresentano rette tra loro perpendicolari, infatti:

m1*m2 = (1-√(2))(1+√(2)) = 1-2 = -1.

Per verificare che la proprietà è vera qualunque sia il punto della direttrice, cioè P(k;-1), si ripete tutto il procedimento.

L'equazione del fascio di rette per P(2;-1) è:

y+1 = m(x-k),

cioè:

y = mx-mk-1.

Imponiamo la condizione di tangenza alla parabola:

y = mx-mk-1 ; y = (x^(2))/(4) ; bigtriangleup = 0

Mettendo a confronto le prime due equazioni:

(x^(2))/(4) = mx-mk-1

cioè:

x^(2)-4mx+4mk+4 = 0

da cui:

(bigtriangleup)/(4) = 4m^(2)-4mk-4 = 0

m^(2)-mk-1 = 0

risolta per:

m1 = (k-√(k^(2)+4))/(2)

m2 = (k+√(k^(2)+4))/(2)

I due coefficienti angolari trovati caratterizzano due rette perpendicolari, infatti:

m1*m2 = (k-√(k^(2)+4))/(2)(k+√(k^(2)+4))/(2) =

(k^(2)-k^(2)-4)/(4) = -(4)/(4) = -1

Naturalmente la seconda parte contiene la prima e la sostituisce.
Ciao emt
  • Pagina:
  • 1
Os