Problemi sull'ellisse: retta tangente, secante o esterna

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Problemi sull'ellisse: retta tangente, secante o esterna #17310

avt
depe_
Cerchio
Ciao a tutti xD non riesco a capire come si svolgono gli esercizi sull'ellisse e sulle rette tangenti, secanti ed esterne...qualcuno mi può aiutare?

1) Determinare per quali valori di k la retta di equazione y=x+k risulta tangente, secante, esterna all'ellisse di equazione x^2+3y^2=12.

2) Determinare i vertici e calcolare il perimetro e l'area del rettangolo inscritto nell'ellisse di equazione 3x^2+4y^2=12, sapendo che due lati opposti passano per i fuochi dell'ellisse e appartengono a rette parallele all'asse minore dell'ellisse.

Grazie a tutti in anticipo!
 
 

Problemi sull'ellisse: retta tangente, secante o esterna #17314

avt
Ifrit
Amministratore
Ciao depe_

Iniziamo con la prima parte dell'esercizio: tieni a portata di mano il formulario sull'ellisse. emt

Dobbiamo impostare il sistema tra l'equazione dell'ellisse e il fascio improprio di rette:

\begin{cases}x^2+3y^2=12\\ y=x+k\end{cases}

Procedendo per sostituzione otterremo l'equazione risolvente:

x^2+3(x+k)^2=12

Sviluppiamo il quadrato e portiamo tutto al primo membro:

x^2+3(x^2+2k x+k^2)-12=0

x^2+3x^2+6kx+3k^2-12=0

Sommiamo i termini simili:

4x^2+6k x+3k^2-12=0

Calcoliamo il discriminante associato all'equazione di secondo grado

\Delta= 36k^2-4\cdot 4(3k^2-12)=12(16-k^2)

In base al segno del Delta ottenuto, possiamo asserire se la retta risulta tangente, secante oppure esterna all'ellisse. In particolare:

\Delta=0\iff 16-k^2=0\iff k_1=4\vee k_2=-4

Il sistema ammette un'unica soluzione, quindi abbiamo un unico punto di intersezione tra le rette e l'ellisse. Le rette quindi sono tangenti all'ellisse.

\Delta>0\iff 16-k^2>0\iff k^2<16\iff -4<k<4

In questo caso il sistema ha due soluzioni quindi abbiamo due punti di intersezione tra il fascio di rette e l'ellisse. Per -4<k<4 il fascio di rette è secante alla ellisse.

\Delta<0\iff 16-k^2<0\iff k<-4\vee k>4.

Il sistema non ammette soluzioni, il fascio di rette è quindi esterno alla ellisse. Il primo è andato! Ci sono problemi? Controlla tutti i conti, mi raccomando emt
Ringraziano: Omega, Pi Greco

Problemi sull'ellisse: retta tangente, secante o esterna #17315

avt
depe_
Cerchio
Ok perfetto emt Grazie mille!

Problemi sull'ellisse: retta tangente, secante o esterna #17336

avt
Ifrit
Amministratore
Determinare i vertici e calcolare il perimetro e l'area del rettangolo inscritto nell'ellisse di equazione 3x^2+4y^2=12, sapendo che due lati opposti passano per i fuochi dell'ellisse e appartengono a rette parallele all'asse minore dell'ellisse.

Abbiamo l'ellisse di equazione:

3x^2+4 y^2=12

Calcoliamo i vertici, e per farlo scriviamo l'equazione dell'ellisse in forma canonica, dividendo membro a membro per 12:

\frac{3x^2}{12}+ \frac{4 y^2}{12}=1

\frac{x^2}{4}+ \frac{y^2}{3}=1

I vertici in generale hanno coordinate:

V_{1,2}(\pm a, 0)

V_{4, 4}(0, \pm b)

In questo caso abbiamo che:

V_1(-2, 0)\,\, V_2(2,0)

V_3 (0, -\sqrt{3})\,\, V_4(0, \sqrt{3})

Benissimo, ora troviamo le coordinate dei fuochi ricordando che:

F_{1,2}(\pm c, 0)

dove c è dato dalla relazione:

c= \sqrt{a^2-b^2}= \sqrt{4-3}=1

Quindi le coordinate dei fuochi sono:

F_{1}(-1, 0)

F_2(1, 0)

Sappiamo ora che i lati opposti passano per i fuochi e sono paralleli all'asse minore dell'ellisse. Appartengono quindi alle rette di equazioni:

r_1: x=-1

r_2:x=1

Troviamo i punti di intersezione tra le rette trovate e l'ellisse, troveremo le coordinate dei vertici del rettangolo:

\begin{cases}\frac{x^2}{4}+ \frac{y^2}{3}=1\\ x=-1\end{cases}

l'equazione risolvente è di conseguenza:

\frac{1}{4}+ \frac{y^2}{3}=1\iff y_1= -\frac{3}{2}\vee y_2= \frac{3}{2}

I primi due vertici sono:

A\left(-1, \frac{3}{2}\right)

D\left(-1, -\frac{3}{2}\right)

Per determinare gli altri due vertici, costruisci il sistema:

\begin{cases}\frac{x^2}{4}+ \frac{y^2}{3}=1\\ x=1\end{cases}

In questo caso la risolvente è:

\frac{1}{4}+ \frac{y^2}{3}=1

Che è identica alla prima, i punti quindi sono:

B\left(1, \frac{3}{2}\right)

C\left(1, -\frac{3}{2}\right)

Possiamo ora determinare le lunghezze dei lati del rettangolo:

AB=|1-(-1)|=2

BC=\left|\frac{3}{2}-\left(-\frac{3}{2}\right)\right|=3

L'area del rettangolo è quindi:

Area= AB\times BC= 2\times 3=6

Il perimetro invece:

P= 2\times(AB+ BC)= 2\times (2+3)= 10

Ecco il disegno emt

ellisse_2012 05 10
Ringraziano: Omega, Pi Greco

Problemi sull'ellisse: retta tangente, secante o esterna #17339

avt
depe_
Cerchio
Grazie ancora! emt
Ringraziano: Omega, Danni
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Os