Punti di intersezione tra parabola e retta.

Salve Staff, vorrei gentilmente una mano per un problema sulle intersezioni tra parabola e retta e altre richieste sulle rette tangenti alla parabola. Grazie mille!

Determinare i punti di intersezione fra la parabola di equazione e la retta avente equazione .

Dopo aver verificato che la retta passa per il fuoco della parabola, determinare la lunghezza della corda intercettata (corda focale), le equazioni delle tangenti alla parabola condotte dagli estremi della corda, rilevando che sono fra loro perpendicolari e si intersecano in un punto della direttrice.

[Modificato]

Ciao Depe_ quante belle cosine chiede questo esercizio

La parabola (click per le formule) ha equazione
y = x²/4
con vertice in V(0;0)

La retta ha equazione
y = (4 - 3x)/4

Impostiamo il sistema formato dalle due equazioni:
{y = x²/4
{y = (4 - 3x)/4

{x² + 3x - 4 = 0
{y = (4 - 3x)/4

{(x + 4)(x - 1) = 0 che ha soluzioni x = - 4 v x = 1
{y = (4 - 3x)/4

A(-4;4)
B(1;1/4)
sono i punti di intersezione tra parabola e retta.

Coordinate del fuoco F
xF = 0
yF = 1/4a = 1/(4/4) = 1
F(0;1)

Poiché il vertice V(0;0) è equidistante dal fuoco e dalla direttrice, l'equazione della direttrice è
y = -1

Per calcolare la misura della corda focale AB (così detta perché passa per il fuoco della parabola) applichiamo la formula della distanza tra due punti:
AB = √[(xB - xA)² + (yB - yA)²]

AB = √(25 + 225/16)

AB = √(625/16) = 25/4

Per determinare le equazioni delle tangenti in A e in B alla parabola, utilizziamo la formula del coefficiente angolare m della retta tangente in un punto della parabola (formula valida per le parabole con asse // asse y).

Per il punto A(-4;4) è

m = 2a*(xA) + b = 2(1/4)(-4) = - 2

Equazione della tangente in A

y - yA = m(x - xA)
y - 4 = (-2)(x + 4)
y = - 2x - 4

Per il punto B(1;1/4) è

m = 2a*(xB) + b = 2(1/4)(1) = 1/2

Equazione della tangente in B

y - yB = m(x - xB)
y - 1/4 = (1/2)(x - 1)
y = x/2 - 1/4

Le due rette tangenti sono perpendicolari per avere i coefficienti angolari antireciproci (1/2 è reciproco ed opposto di - 2)

Intersechiamo le due tangenti

{y = x/2 - 1/4
{y = - 2x - 4

Portiamo le equazioni in forma implicita

{2x + y + 4 = 0
{- 2x + 4y + 1 = 0

Sommiamo membro a membro ed otteniamo 5y + 5 = 0 da cui y = - 1

{x = (- y - 4)/2
{y = - 1

{x = -3/2
{y = - 1

Le due tangenti si intersecano in C(-3/2;-1)

C(-3/2;-1) appartiene alla direttrice che ha equazione y = - 1 ed è così dimostrato che le due tangenti si intersecano in un suo punto.

Ok? Ciao*

depe_ ha scritto:


Danni ha scritto


E' vero, Danni, ci sono tante belle cosine ma nemmeno un "ciao" e un "per favore".

@Depe: YM non è il distributore delle sigarette, mi riferisco a questo: esercizio su equazione con valore assoluto.

e a questo: A buon intenditor, poche parole (click.)

[Warning 1]

@ Omega: verissimo e ti chiedo scusa, ancora mi devo spogliare dell'assuefazione colpevole al mio luogo di provenienza che ben conosci.

@ Depe_: sono sicuro che vorrai porre rimedio.

Danni ha scritto:


O.O

Nonononono, quali scuse non devi scusarti tu

Il buon cuore non è una colpa, e anzi è motivo di doppia e tripla ammirazione!

Scusate....colpa mia. Andavo di fretta

Ciao Depe_ mi fa piacere che tu abbia risposto.
In Matematica la fretta è cosa sconosciuta. Chi ti spiega un esercizio passaggio per passaggio non può avere fretta o rischia qualche svarione.
Scrive, controlla i dati ricavati e il testo della spiegazione, alla fine verifica l'esattezza del risultato con ulteriori controlli. Sa che ci sono altre domande che lo attendono ma il tempo per una frase cordiale ed un saluto lo trova.
Non siamo macchine, siamo persone come te e con la nostra cordialità ti dimostriamo il rispetto e l'amicizia dovuti appunto ad una persona che si rivolge a noi per avere un aiuto.
Penso quindi che anche tu in futuro troverai il tempo per un saluto e per un grazie