Punti di intersezione tra parabola e retta.

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Punti di intersezione tra parabola e retta. #17097

avt
depe_
Cerchio
Salve Staff, vorrei gentilmente una mano per un problema sulle intersezioni tra parabola e retta e altre richieste sulle rette tangenti alla parabola. Grazie mille!

Determinare i punti di intersezione fra la parabola di equazione x^2-4y=0 e la retta avente equazione 3x+4y-4=0.

Dopo aver verificato che la retta passa per il fuoco della parabola, determinare la lunghezza della corda intercettata (corda focale), le equazioni delle tangenti alla parabola condotte dagli estremi della corda, rilevando che sono fra loro perpendicolari e si intersecano in un punto della direttrice.

[Modificato]
 
 

Re: Punti di intersezione tra parabola e retta. #17102

avt
Danni
Sfera
Ciao Depe_ emt quante belle cosine chiede questo esercizio emt

La parabola (click per le formule) ha equazione
y = x²/4
con vertice in V(0;0)

La retta ha equazione
y = (4 - 3x)/4

Impostiamo il sistema formato dalle due equazioni:
{y = x²/4
{y = (4 - 3x)/4

{x² + 3x - 4 = 0
{y = (4 - 3x)/4

{(x + 4)(x - 1) = 0 che ha soluzioni x = - 4 v x = 1
{y = (4 - 3x)/4

A(-4;4)
B(1;1/4)
sono i punti di intersezione tra parabola e retta.

Coordinate del fuoco F
xF = 0
yF = 1/4a = 1/(4/4) = 1
F(0;1)

Poiché il vertice V(0;0) è equidistante dal fuoco e dalla direttrice, l'equazione della direttrice è
y = -1

Per calcolare la misura della corda focale AB (così detta perché passa per il fuoco della parabola) applichiamo la formula della distanza tra due punti:
AB = √[(xB - xA)² + (yB - yA)²]

AB = √(25 + 225/16)

AB = √(625/16) = 25/4

Per determinare le equazioni delle tangenti in A e in B alla parabola, utilizziamo la formula del coefficiente angolare m della retta tangente in un punto della parabola (formula valida per le parabole con asse // asse y).

Per il punto A(-4;4) è

m = 2a*(xA) + b = 2(1/4)(-4) = - 2

Equazione della tangente in A

y - yA = m(x - xA)
y - 4 = (-2)(x + 4)
y = - 2x - 4

Per il punto B(1;1/4) è

m = 2a*(xB) + b = 2(1/4)(1) = 1/2

Equazione della tangente in B

y - yB = m(x - xB)
y - 1/4 = (1/2)(x - 1)
y = x/2 - 1/4

Le due rette tangenti sono perpendicolari per avere i coefficienti angolari antireciproci (1/2 è reciproco ed opposto di - 2)

Intersechiamo le due tangenti

{y = x/2 - 1/4
{y = - 2x - 4

Portiamo le equazioni in forma implicita

{2x + y + 4 = 0
{- 2x + 4y + 1 = 0

Sommiamo membro a membro ed otteniamo 5y + 5 = 0 da cui y = - 1

{x = (- y - 4)/2
{y = - 1

{x = -3/2
{y = - 1

Le due tangenti si intersecano in C(-3/2;-1)

C(-3/2;-1) appartiene alla direttrice che ha equazione y = - 1 ed è così dimostrato che le due tangenti si intersecano in un suo punto.

Ok? Ciao* emt
Ringraziano: Omega, Ifrit, toyo10

Re: Punti di intersezione tra parabola e retta. #17103

avt
Omega
Amministratore
depe_ ha scritto:
Determinare i punti di intersezione fra la parabola di equazione x^2-4y=0 e la retta avente equazione 3x+4y-4=0. Dopo aver verificato che la retta passa per il fuoco della parabola, determinare la lunghezza della corda intercettata (corda focale), le equazioni delle tangenti alla parabola condotte dagli estremi della corda, rilevando che sono fra loro perpendicolari e si intersecano in un punto della direttrice.


Danni ha scritto

Ciao Depe_ quante belle cosine chiede questo esercizio


E' vero, Danni, ci sono tante belle cosine ma nemmeno un "ciao" e un "per favore".

@Depe: YM non è il distributore delle sigarette, mi riferisco a questo: esercizio su equazione con valore assoluto.

e a questo: A buon intenditor, poche parole (click.)

[Warning 1]
Ringraziano: Danni

Re: Punti di intersezione tra parabola e retta. #17114

avt
Danni
Sfera
@ Omega: verissimo e ti chiedo scusa, ancora mi devo spogliare dell'assuefazione colpevole al mio luogo di provenienza che ben conosci.

@ Depe_: sono sicuro che vorrai porre rimedio.
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Ifrit

Re: Punti di intersezione tra parabola e retta. #17115

avt
Omega
Amministratore
Danni ha scritto:
@ Omega: verissimo e ti chiedo scusa


O.O

Nonononono, quali scuse emt non devi scusarti tu emt

Il buon cuore non è una colpa, e anzi è motivo di doppia e tripla ammirazione! emt emt
Ringraziano: Pi Greco, Ifrit, Danni

Re: Punti di intersezione tra parabola e retta. #17179

avt
depe_
Cerchio
Scusate....colpa mia. emt Andavo di fretta
Ringraziano: Omega, Danni

Re: Punti di intersezione tra parabola e retta. #17223

avt
Danni
Sfera
Ciao Depe_ emt mi fa piacere che tu abbia risposto.
In Matematica la fretta è cosa sconosciuta. Chi ti spiega un esercizio passaggio per passaggio non può avere fretta o rischia qualche svarione.
Scrive, controlla i dati ricavati e il testo della spiegazione, alla fine verifica l'esattezza del risultato con ulteriori controlli. Sa che ci sono altre domande che lo attendono ma il tempo per una frase cordiale ed un saluto lo trova.
Non siamo macchine, siamo persone come te e con la nostra cordialità ti dimostriamo il rispetto e l'amicizia dovuti appunto ad una persona che si rivolge a noi per avere un aiuto.
Penso quindi che anche tu in futuro troverai il tempo per un saluto e per un grazie emt
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Ifrit
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Os