Elementi di una parabola

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Elementi di una parabola #16962

avt
RosyD
Punto
Ciao a tutti! Il mio prof di Matematica ci ha proposto di ragionare su un esercizio sugli elementi caratteristici di una parabola. Ho provato a ragionarci ma non sono arrivata a nessuna conclusione. emt

Avendo y = 2x^2 - x - 2 calcolare fuoco vertice e direttrice.
Potete aiutarmi?
 
 

Elementi di una parabola #16963

avt
Danni
Sfera
Ciao Rosy emt
Si tratta di una parabola con asse parallelo all'asse y che ha equazione canonica
y = ax² + bx + c

y = 2x² - x - 2
La concavità è rivolta verso l'alto perché a = 2 > 0
L'intersezione con l'asse y è in (0;c) ossia in (0;-2)

L'ascissa del vertice V è data dal rapporto -b/2a
xV = -b/2a = 1/4

Per determinare l'ordinata del vertice, poiché V è punto della parabola sostituiamo il valore di xV nell'equazione ed otteniamo
yV = 2(1/4)² - 1/4 - 2 = 1/8 - 1/4 - 2 = - 17/8

Quindi il vertice ha coordinate
V(1/4;-17/8)

Il fuoco F, come il vertice, appartiene all'asse di simmetria della parabola e la sua ascissa è la stessa:
xF = xV = -b/2a = 1/4

L'ordinata del fuoco è data da
yF = (1 + 4ac - b²)/4a = [1 + 4(2)(-2) - 1]/8 = -16/8 = - 2

Il fuoco ha coordinate
F(1/4;-2)

Per determinare l'equazione della direttrice che è parallela all'asse x ed ha equazione generica y = k, facciamo questo ragionamento:
il vertice, come punto della parabola, è equidistante da fuoco e direttrice(d)
Per la formula dell'ordinata del punto medio di un segmento è
yV = [yF + y(d)]/2 da cui
y(d) = 2yV - yF = -17/4 + 2 = -9/4

La direttrice ha equazione
y = - 9/4

Ciao* emt
Ringraziano: Omega, Pi Greco, RosyD

Elementi di una parabola #16964

avt
RosyD
Punto
Grazie mille!!emt
Ringraziano: Danni

Elementi di una parabola #16967

avt
Danni
Sfera
Di nulla, ciao* emt
Ringraziano: Omega
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Os