Problema con circonferenza e fascio di rette

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Problema con circonferenza e fascio di rette #16668

avt
Vlad
Punto
Come dovrei risolvere questo problema sulla circonferenza e sul fascio di rette? Me lo spieghereste per favore?

Determina l'equazione della circonferenza di diametro AB avente per estremi A(1;-3),\ B(5;2); successivamente determina il valore di a in modo che la retta del fascio di equazione (a+3)x+(a+2)y-1=0 sia:

- parallela all'asse y (caso 1)
- perpendicolare all'equazione 2x-4y+7=0.

Grazie a tutti!
 
 

Problema con circonferenza e fascio di rette #16671

avt
Ifrit
Ambasciatore
Calcoliamo il diametro della circonferenza che corrisponde alla distanza tra i due punti A e B:

d= \overline{AB}=\sqrt{(x_A-x_B )^2+(y_A-y_B )^2}=

= \sqrt{(1-5)^2+(-3-2)^2}=\sqrt{16+25}= \sqrt{41}

Il raggio è per definizione la metà del diametro quindi:

r=\frac{d}{2}=\frac{\sqrt{41}}{2}

Avendo il raggio ci mancano solo le coordinate del centro che però non è altro che il punto medio del diametro:

x_C= \frac{x_A+x_B}{2}= \frac{1+5}{2}= 3

y_C= \frac{y_A+y_B}{2}= \frac{-3+2}{2}= -\frac{1}{2}

A questo punto possiamo determinare l'equazione della circonferenza (click per le formule della circonferenza):

(x-x_C)^2+(y-y_C)^2= r^2

Sostituiamo i valori ottenuti:

(x-3)^2+\left(y+\frac{1}{2}\right)^2= \left(\frac{\sqrt{41}}{2}\right)^2

Facciamo i conti:

x^2-6x+9+y^2+y+\frac{1}{4}= \frac{41}{4}

Moltiplichiamo per 4 membro a membro:

4x^2-24x+36+4y^2+4y+1=41

Ordiniamo l'equazione:

4x^2+4y^2-24x+4y-4=0


Per la seconda parte dell'esercizio, determina il valore di a in modo che la retta di equazione (a+3)x+(a+2)y - 1=0 sia parallela all'asse y.

Affinché la retta sia parallela all'asse Y dobbiamo richiedere che l'equazione che la descrive si presenti nella forma:

x= x_0

dove x_0 è un numero reale. Dobbiamo quindi pretendere che il coefficiente della variabile y sia nullo:

(a+2)=0\iff a=-2

Sostituendo il valore di a abbiamo l'equazione della retta richiesta:

(-2+3)x-1=0\iff x=1
________________________

Adesso determiniamo la retta appartenente al fascio di rette:

f:(a+3)x+(a+2)y-1=0

e perpendicolare alla retta t: 2x-4y+7=0

Ricorda che due rette sono perpendicolari se il prodotto dei loro coefficienti angolari è -1.

Il coefficiente angolare di f è:

m_f= -\frac{a+3}{a+2}

mentre il coefficiente angolare di t è:

m_t= -\frac{2}{-4}= \frac{1}{2}

Conseguentemente abbiamo:

m_f\cdot m_t= -1\iff m_f= -\frac{1}{m_t}

Quindi:

-\frac{a+3}{a+2}= -\frac{1}{\frac{1}{2}}= -2

Dobbiamo quindi risolvere l'equazione:

-\frac{a+3}{a+2}= -2\iff \frac{a+3}{a+2}=2

Moltiplichiamo membro a membro per a+2

a+3= 2(a+2)

Da cui

a+3= 2a+4\implies a= -1

L'equazione della retta è:

(-1+3)x+(-1+2)y-1=0\iff 2x+y-1=0

Ecco fatto emt
Ringraziano: Omega, Vlad

Problema con circonferenza e fascio di rette #16684

avt
Danni
Sfera
Ciao Vlad emt
1) calcoliamo la misura del diametro di estremi A(1;-3) B(5;2)
AB = √[(xA - xB)² + (yA - yB)²] = √(16 + 25) = √41

Il raggio misura metà del diametro:
r = AB/2 = (√41)/2

Il centro C della circonferenza coincide con il punto medio del diametro AB
xC = (xA + xB)/2 = (1 + 5)/2 = 6/2 = 3
yC = (yA + yB)/2 = (- 3 + 2)/2 = - 1/2
C(3;-1/2)

Ora è possibile determinare l'equazione della circonferenza:
(x - xC)² + (y - yC)² = r²
(x - 3)² + (y + 1/2)² = 41/4
x² + y² - 6x + y + 9 + 1/4 - 41/4 = 0
x² + y² - 6x + y - 1 = 0

2) Ti viene data l'equazione di un fascio proprio di rette nella forma implicita (uso le maiuscole per i coefficienti, per non fare confusione con il parametro 'a')
Ax + By + C = 0
in cui è
A = a + 3
B = a + 2

*) Perché una retta del fascio sia parallelaall'asse y deve essere nullo il termine in y, quindi basta imporre
a + 2 = 0
a = - 2
Per a = - 2 sostituito nell'equazione del fascio si ha la retta di equazione
x - 1 = 0
che è parallela all'asse y

*) Il coefficiente angolare (m) delle rette del fascio la cui equazione è data in forma implicita è dato dal rapporto -A/B:
m = -A/B = - (a + 3)/(a + 2) con a ≠ - 2

Il coefficiente angolare della retta di equazione 2x - 4y + 7 = 0 è dato anch'esso dal rapporto -A/B
A = 2
B = - 4
m = -A/B = -2/(-4) = 1/2

Rette perpendicolari hanno coefficienti angolari antireciproci (reciproci ed opposti)
Il coefficiente angolare della retta del fascio perpendicolare alla retta data vale quindi -2
(a + 3)/(a + 2) = 2
a + 3 = 2a + 4
a = - 1
Per a = - 1 sostituito nell'equazione del fascio si ha la retta di equazione
2x + y - 1 = 0
perpendicolare alla retta data.

Tutto chiaro? Ciao*emt
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Ifrit, Vlad

Problema con circonferenza e fascio di rette #16686

avt
Vlad
Punto
grazie mi hai salvato (almeno spero che il proff nn cambiera la verifica)
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Os